Завдання для розрахунку

Розв’язати СЛАР за допомогою середовища Mathcad, використовуючи розглянуті прямі та ітераційні методи:

Коефіцієнти і вільні члени СЛАР заданої системи рівнянь наведено у табл. Б.5 додатка Б.

Приклади виконання

Приклад 1. Розв’язати СЛАР прямими методами засобами пакета MathCAD:

Розв’язок

Приклад 2. Розв’язати СЛАР (приклад 1) ітераційними методами засобами пакета MathCAD.

Примітка. Для виконання завдання необхідно мати уявлення про процедуру розв’язання матричних рівнянь з використанням формул Крамера, оберненої матриці, методу Ґаусса, ітераційних методів і застосування засобів пакета MathCAD.

Контрольні питання

1. Наведіть загальний вигляд СЛАР.

2. Запишіть СЛАР у матричному вигляді й наведіть її розв’язання, використовуючи формули Крамера.

3. Назвіть основні типи й властивості матриці.

4. Як обчислюють визначник матриці?

5. Які дії виконують над матрицями?

6. Які матриці називають однорідними, визначеними?

7. Як здійснюють обернення й транспонування матриць?

8. На які групи поділяють на практиці методи, що використовують для розв’язання СЛАР? Дайте порівняльну оцінку методам розв’язання СЛАР.

9. У чому полягає суть методу Ґаусса з вибором головного елемента? Поясніть поняття “прямий” та “зворотний” хід методу Ґаусса. Навіщо у методі Ґаусса потрібний етап “вибір головного елемента”?

10. Як перевірити збіжність методу?

11. У чому полягає метод простих ітерацій?

12. Що є умовою закінчення ітераційного процесу?

13. Як засобами пакета MathCAD розв’язують СЛАР?

Література: [1, c. 24-59; 7, c. 65-118; 11, c. 55-63].

Завдання № 3 Розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем Рекомендації щодо виконання

У практиці наукових та інженерних розрахунків часто виникає необхідність у розв’язанні рівнянь вигляду

, (3.1)

де - функція, яка визначена і неперервна на деякому кінцевому або нескінченному інтервалі .

Якщо функція являє алгебраїчний поліном, то рівняння (3.1) називають алгебраїчним. Якщо функція містить логарифмічні, тригонометричні та інші спеціальні функції, то рівняння (3.1) називають трансцендентним. Алґебраїчні та трансцендентні рівняння обчислюють однаковими методами.

Переважна більшість нелінійних рівнянь з однією змінною не розв’язується шляхом аналітичних перетворень. На практиці їх розв’язують лише чисельними методами. Розв’язати таке рівняння – це означає встановити, має воно корені, скільки коренів і знайти значення коренів із заданою точністю.

Розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною

Процес відшукання кореня рівняння складається з двох етапів:

1) відділення коренів, тобто відшукання інтервалів, у яких міститься по одному кореню рівняння, єдиному на даному інтервалі;

2) уточнення значень окремих коренів до деякої заданої міри точності.

Найбільш поширеними на практиці чисельними методами розв’язання рівнянь виду (3.1) є метод поділу навпіл, метод хорд, метод дотичних (Ньютона), метод простої ітерації.