6. Вариационная задача. Причина, по которой такая задача необходима. Смысл величин, входящих в постановку задачи.

Постановка задачи:

1. min_(f){║Af-U║²_R+α║Df║²_L2}

1. значение функционалов от базисных функций

f– вектор коэффициентов

Df– производная от функции, которую ищем. Здесьf– вся функция.

Переходим к вариационной задаче. Т.к. у нас очень много неизвестных, а наблюдений очень мало, поэтому мы вводим еще одно условие, которое сводится к требованиям, чтобы функция обладала заданными свойствами.

[1 0 0] – интеграл от квадрата самой функции.

[0 1 0] – интеграл от квадрата первой производной (в пределах горизонтальной прямой), minповерхности.

[0 0 1] – интеграл от квадрата второй производной, minкривизны в пределах наклонной прямой.

ρ║Af-U║²_Rnлибо 1/ρ║Df║²_L2 1/ρ=α

2. Вместо ║Df║²_L2 возьмем ║D(f-λφ)║²_L2

φ-априорная информация

λ – коэффициент

Df=λDφ

min║D(f-λφ)║²_L2 требует, чтобыDf=λDφ

7. Система линейных уравнений вариационной задачи.

║Af-U║²_Rn→A^тAf=A^тU- система уравнений для этого функционала

fQf^т → продифференцируем поfи приравняем к нулю, получим:Qf=0.

A^тAf=A^тU

Qf=0 суммируем, получим:

(A^тA+αQ)f=A^тU

Если, ║D(f-λφ)║²_L2= (f-λφ)Q(f-λφ)^т

Продифференцируем и просуммируем с предыдущим, получим:

(A^тA+αQ)f=A^тU+ λαQφ

8. Дифференциальное уравнение и вариационная задача

Df=0 – дифференциальное уравнение

f(x)=U– граничные условия, либо в виде значений функций на границе, либо значений производной от некоторой функции по направлению нормали.

Нормаль – вектор, перпендикулярный к границам и имеющий длину единицу.

Мы имеем точки внутри области, если мы обведем точки окружностями бесконечно малого диаметра и вырежем ее из нашей области, то мы получим значения в точках, как граничные условия.

Вариационная задача выступает в роли способа решения дифференциального уравнения. Различия по сравнению с классическим решением пренебрежительно малы, незначительны.

9. Обработка данных по профилям

По профилям в каждой точке выдают либо значения глубины, либо t₀.

Необходимо найти координаты точек профиля и к ним привязать эти значения. Решив эту задачу картирования, мы получим карту глубин и карту t₀.

Вычисляем под каким углом поднимается поверхность производных значений к линии профиля.

По всем профилям можно взять производные, а по одному, если нет скважин – глубины и построить карту.

Если оцифровать сейсмическую карту, ее можно использовать как априорную информацию. Ее можно превратить в карту производных, с помощью специальной программы, которая вычисляет значение производной в каждом узле по двум направлениям. Если мы используем значения производных в точках, то нам легче соотнести различную информацию между собой.

10. Построение карты с учетом априорной информации

Используется карта по сейсморазведке и перестраивается по разрезу. Берем сейсмическую карту, накладываем кальку координат и параллельно сейсмическим изолиниям строим карту бурения или метод схождения (разность отметок и сейсмическая карта, карта разности и сумма сейсмических карт и разности).

Df=λDφmin║D(f-λφ)║²_L2– второй функционал

Первый функционал – обычный МНК. Метод МНК дает систему линейных уравнениний.

Qf=λQφ

Qf –МНК

λQφ– вектор свободных членов

Dмы можем выбирать разное, может бытьD₀(Q₀)

D₀– требуем чтобы во всех узлах эти карты совпадали иfи φ. Отклонения только в точках наблюдения