Инжинерная графика,начертательная геометрия, лекции / Конспект Лекций НачерГеом 2093 (ДонИЖТ)

2. ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО И ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.

План:

2.1Задание и изображение прямой на комплексном чертеже.

2.2Следы прямой.

2.3Частные положения прямой.

2.4Натуральная величина (н.в.) отрезка прямой общего положения.

2.5Взаимное положение двух прямых.

2.6Метод конкурирующих точек.

2.1Задание и изображение прямой на комплексном чертеже.

Прямую в пространстве можно задать двумя ее точками (рисунок 2.1.1), или одной точкой и углами наклона прямой к плоскостям проекций. (здесь и далее прямые могут изображаться как конечные отрезки этих прямых)

Рисунок 2.1.1

Обозначаться прямая может либо двумя латинскими буквами (точками концов отрезка прямой, как на рисунке 2.1.1), либо одной малой латинской буквой (Рисунок 2.1.2).

Рисунок 2.1.2

2.2 Следы прямой.

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. В соответствии с этим, прямая может иметь горизонтальный (Н), фронтальный (F),

профильный (P) следы.

Для примера рассмотрим порядок нахождения фронтального следа F прямой АВ на чертеже (Рисунок 2.2).

11

Рисунок 2.2

1.Горизонтальная проекция A1B1 продлевается до пересечения с осью ОХ; в точке пересечения находим горизонтальную проекцию фронтального следа F1.

2.	Из F1 проводим вертикальную линию связи до пересечения с фронтальной проекцией
	A2B2, также продленной соответствующим	образом. Точка пересечения является
	фронтальным следом прямой, совпадающим со	своей фронтальной проекцией F ≡ F2.

2.3 Частные положения прямой.

Все прямые, по положению относительно плоскостей проекций, занимают общее или одно из частных положений. Прямая имеет общее положение (например, как на рисунках 2.1 и 2.2), если ее проекции не параллельны и не перпендикулярны оси Х, т.е. сама прямая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Прямые параллельные одной плоскости проекций (прямые уровня).

Горизонтальная прямая – параллельна горизонтальной плоскости проекций π1 (рисунок 2.3.1). Её фронтальная проекция параллельна оси ОХ, а горизонтальная проекция параллельна и равна по величине самой прямой. Угол наклона горизонтальной проекции к оси ОХ равен углу наклона самой прямой к π2. (На чертеже: н.в. – натуральная величина фигуры)

Рисунок 2.3.1 – Горизонтальная прямая

12

Фронтальной прямой называется прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций π2 (рисунок 2.3.2). Её горизонтальная проекция параллельна оси ОХ, а фронтальная проекция параллельна и равна по величине самой прямой. Угол наклона фронтальной проекции к оси ОХ равен углу наклона самой прямой к π1.

Рисунок 2.3.2 – Фронтальная прямая

Профильная прямая – прямая параллельная профильной плоскости проекций π3 (рисунок 2.3.3). Горизонтальная и фронтальная проекции такой прямой перпендикулярны к оси ОХ, а профильная проекция параллельна и равна по величине самой прямой. Угол наклона профильной проекции к оси ОY равен углу наклона самой прямой к π1, а угол наклона профильной проекции к оси ОZ равен углу наклона прямой к π2.

Рисунок 2.3.3 – Профильная прямая

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций (проецирующие прямые).

Характерным признаком чертежа таких прямых будет наличие одной проекции в виде точки, а две другие проекции будут отражать натуральную величину прямой, поскольку они будут параллельны самой прямой.

Горизонтально - проецирующая прямая – прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рисунок 2.3.4). Её горизонтальная проекция – точка, фронтальная и профильная проекции – прямые, перпендикулярные осям ОХ и ОY соответственно, и отображают натуральную величину прямой.

13

Рисунок 2.3.4 – Горизонтально – проецирующая прямая.

Фронтально – проецирующая прямая – прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рисунок 2.3.5). Её фронтальная проекция – точка, горизонтальная и профильная проекции – прямые, перпендикулярные осям ОХ и ОZ соответственно, и отображают натуральную величину прямой.

Рисунок 2.3.5 – Фронтально – проецирующая прямая.

Профильно – проецирующая прямая – прямая перпендикулярная профильной плоскости проекций (рисунок 2.3.6). Её профильная проекция – точка, фронтальная и горизонтальная проекции параллельны оси ОХ и отображают натуральную величину самой прямой.

Рисунок 2.3.6 – Профильно-проецирующая прямая.

14

2.4 Натуральная величина (н.в.) отрезка прямой общего положения

Выявление натуральной величины отрезка прямой осуществляется построением прямоугольного треугольника на одной из ее проекций (метод треугольника). Проекция отрезка прямой – это один катет треугольника. Второй катет, перпендикулярный первому, равняется алгебраической разности координат конечных точек отрезка, измеренной относительно плоскости проекций, на которой строят треугольник. Гипотенуза треугольника – натуральная величина отрезка прямой линии.

Пусть дан отрезок АВ в 2х проекциях (Рисунок 2.4). Найдем его натуральную величину на горизонтальной проекции.

	Рисунок 2.4 – Определение н.в. отрезка АВ методом треугольника.
1.	Измеряем по оси ОZ разницу в координатах концов фронтальной проекции А2В2 – ZАВ.
2.	Перпендикулярно горизонтальной проекции А1В1 от одного из её концов (например В1)
	откладывается отрезок равный по величине ZАВ, на его конце получаем т. В*.

3.Соединяем конец отложенного отрезка В* со вторым концом горизонтальной проекции А1 и получаем В*А1 – натуральную величину отрезка АВ (на рисунке н.в. АВ).

4.Угол между н.в. АВ - В*А1 и горизонтальной проекцией А1В1 является углом наклона

АВ к π1.

Аналогичные построения можно провести на фронтальной и профильной проекциях отрезка АВ, измерив YАВ и XАВ, соответственно, и отложив отрезки равные измеренным величинам перпендикулярно названным проекциям отрезка от одного из их концов, и соединив концы отложенных отрезков со вторыми концами проекций.

2.5 Взаимное положение двух прямых

Параллельными называются прямые, которые не имеют общих точек. На чертежах у параллельных прямых одноименные проекции параллельны (рисунок 2.5 а ).

Пересекающимися называются прямые, которые имеют общую точку пересечения. На чертеже одноименные проекции пересекающихся прямых пересекаются (рисунок 2.5 б ). Проекции точки пересечения (т. А) лежат на одной линией связи.

15

Рисунок 2.5 Прямые на чертеже: а ) параллельные; б ) пересекающиеся; в ) скрещивающиеся.

Скрещивающимися называют прямые, которые не параллельны между собой и не пересекаются, т.е. они не могут лежать в одной плоскости. На чертежах одноименные проекции таких прямых могут пересекаться (рисунок 2.5 в ), но точка пересечения одноименных проекций этих прямых – это, в действительности, две точки разных прямых, расположенных на одной линии связи. Такие точки, у которых совпадают одноименные проекции на какую-

либо плоскость, называются конкурирующими.

2.6 Определение видимости фигур методом конкурирующих точек.

Определение видимости геометрических фигур относительно друг друга осуществляется методом конкурирующих точек.

На фронтальной плоскости проекций видимы те контуры геометрических фигур, проекции которых на π1 имеют наибольшую координату y, т.е. наиболее удалены от оси х. Эти контуры первыми пересекаются проецирующими лучами, перпендикулярными к π2 (рисунок

2.6 а )

Рисунок 2.6 – Определение видимости фигур.

На горизонтальной плоскости проекций видимы те контуры геометрических фигур, проекции которых на π2 имеют наибольшую координату z, т.е. наиболее удалены от оси х. Эти контуры первыми пересекаются проецирующими лучами, перпендикулярными к π1 (рис. 2.6 б )

16

На профильной плоскости проекций видимы те контуры геометрических фигур, проекции которых на π1 и π2 имеют наибольшую координату х, т.е. наиболее удалены от вертикальных осей. Эти контуры первыми пересекаются проецирующими лучами, перпендикулярными к π3 (рис. 2.6 в )

Выводы

Если прямая параллельна одной из плоскостей проекций, то одна проекция параллельная соответствующей оси проекций.

Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекция прямой на эту плоскость – точка, две другие проекции перпендикулярны соответствующей оси проекций и отображают натуральную величину прямой.

Если прямая занимает общее положение, то ни одна из ее проекций не параллельна и не перпендикулярна какой-либо оси проекций.

В пространстве две прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Параллельные и пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях.

Вопросы для самопроверки

1.Какое положение может занимать прямая относительно плоскостей проекций?

2.Какие линии уровня Вы знаете?

3.Какая особенность чертежа линий уровня?

4.В чем особенность чертежа проецирующих прямых?

5.Может ли проекция отрезка быть большей, или равной по величине самому отрезку? Если да, то в каких случаях?

6.Как могут быть расположены прямые относительно друг друга?

7.Что такое конкурирующие точки? Как с их помощью определить видимость фигур?

Задачи для самостоятельной работы:

1.Построить комплексный чертеж прямой, все точки которой отдалены от фронтальной плоскости проекций на 25 мм. Прямая составляет угол 15° с горизонтальной плоскостью проекций.

2.Построить комплексный чертеж прямых АВ и CD, определить их взаимное положение в пространстве. А(5,15,45); В(45,25,10); С(50,0,10); D(45,10,30).

3.ПЛОСКОСТЬ. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. ТОЧКА И ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. ДВЕ ПЛОСКОСТИ.

План

3.1Способы задания плоскости на чертеже.

3.2Плоскости общего и частного положения.

3.3Прямая и точка в плоскости.

3.4Главные линии плоскости.

3.5Построение проецирующей плоскости через прямую линию.

3.6Параллельность прямой и плоскости.

3.7Пересечение прямой общего положения с плоскостью

17

частного положения. Определение видимости прямой.

3.8Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения. Определение видимости прямой.

3.9Взаимное положение двух плоскостей в пространстве.

3.10Пересечение плоскостей общего положения.

3.11Перпендикуляр к плоскости.

3.1 Способы задания плоскости на чертеже.

Плоскостью называется поверхность, которая образуется при движении прямой линии параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Плоскость может быть задана:

1)тремя точками, которые не лежат на одной прямой (рисунок 3.1 а );

2)прямой и точкой, которая не лежит на этой прямой (рисунок 3.1 б );

3)двумя параллельными прямыми (рисунок 3.1 в );

4)двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.1 г );

5)любой плоской фигурой (рисунок 3.1 д ).

6)Следами плоскости (рисунок 3.1 е )

Рисунок 3.1

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. Таким образом плоскость Σ (рисунок 3.1 е ) может иметь фронтальный Σ2 , горизонтальный Σ1 , профильный Σ3 следы. Точки Σ12, Σ23, Σ13 – точки пересечения следов на осях x, y, z.

18

3.2 Плоскости общего и частного положения.

Плоскость, расположенная под непрямыми углами к трем плоскостям проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 3.1). Все три следа этой плоскости будут наклонены к осям проекций под непрямыми углами (рис. 3.1 е ). Относительно плоскостей проекций плоскость также может занимать одно из частных положений – быть проецирующей плоскостью, которая проецируется в минимальную величину, т.е. в прямую, на перпендикулярную ей плоскость проекций π1, или π2, или π3 (рисунок 3.2.1).

Рисунок 3.2.1 – Проецирующие плоскости.
Частные положения положение плоскости относительно π1, π2, π3:
- плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций:
а) γ π1, - горизонтально – проецирующая плоскость (рисунок 3.2.1 а ), следы γ2 и	γ3
перпендикулярны осям x і y соответственно, а γ1 размещен под непрямым углом к оси	x и

вертикальной оси y; рядом горизонтальнопроецирующая плоскость задана плоской фигурой

– треугольником АВС;

б) β π2, - фронтально – проецирующая плоскость (рисунок 3.2.1 б ), следы β1 и β3

перпендикулярны осям x і z соответственно, а β2 размещен под непрямым углом к осям x и z; рядом фронтальнопроецирующая плоскость задана плоской фигурой – треугольником

АВС;

19

в) λ π3, - профильно – проецирующая плоскость (рисунок 3.2.1 в ), следы λ1 и	λ2
перпендикулярны осям y і z соответственно, а λ3 размещен под непрямым углом к оси z	и

горизонтальной оси y; рядом профильнопроецирующая плоскость задана плоской фигурой – треугольником АВС;

- плоскость перпендикулярная двум плоскостям проекций и параллельная третьей, на которую проецируется в натуральную величину:

а) γ ║ π1 ( π2, π3) – горизонтальная плоскость или плоскость горизонтального уровня

(рисунок 3.2.2 а );

б) β ║ π2 ( π1, π3) – фронтальная плоскость или плоскость фронтального уровня

(рисунок 3.2.2 б );

в) λ ║ π3 ( π1, π2) – профильная плоскость или плоскость профильного уровня

(рисунок 3.2.2 в ).

Рисунок 3.2.2 – Плоскости уровня

3.3Прямая и точка в плоскости

Кчислу основных задач, решаемых на плоскости, относятся:

–построение прямой, лежащей в плоскости;

–построение в плоскости некоторой точки;

–построение отсутствующей проекции точки;

–проверка принадлежности точки плоскости.

Из курса геометрии известно, что прямая принадлежит плоскости, если (рисунок 3.3.1):

–она проходит через две точки, которые лежат в плоскости: через точки 1 и А прямая 1А, в проекциях 11А1, 12А2;

–она проходит через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости (прямая a проходит через т.В плоскости АВС параллельно АС: в

проекциях a1║А1С1 и a 2║А2С2 на рис. 3.3.1).

Рисунок 3.3.1

20