Инжинерная графика,начертательная геометрия, лекции / Конспект Лекций НачерГеом 2093 (ДонИЖТ)

ДОНЕЦКИЙ ИНСТИТУТ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по начертательной геометрии и инженерной графике

Часть 1

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Донецк 2007

Конспект лекций рассмотрен и рекомендован к изданию и использованию в учебном процессе на заседании кафедры теоретической и прикладной механики 22 июня 2007 г., протокол № 12

Составители:

Д.т.н., профессор В. П. Шамота К.т.н., доцент Н. Н. Горобец К.т.н., доцент А. Л. Фалько

	Рецензенты:
К.т.н., доцент	Антропова Л.Н. (ДонГУЭТ)
К.т.н., доцент	Тимохин Ю.В. (ДонИЖТ)

Председатель методической комиссии ДонИЖТ:

К.т.н., доцент

Ю. В. Черняк

2

	СОДЕРЖАНИЕ
Введение или зачем нужно изучать эту дисциплину !...……....................4
Принятые обозначения ........................	..........................................................4

1.Предмет начертательной геометрии.

Методы проецирования. Положение точки относительно плоскостей проекций. Комплексный чертеж точки…..................5

2.Чертеж прямой. Прямые частного и общего положения. Взаимное положение прямых ……………………………...........11

3.Плоскость. Задание плоскости на комплексном чертеже. Плоскости частного положения. Точка и прямая в

	плоскости. Прямая и плоскость. Две плоскости ......................	17
4.	Решение простейших задач............................................................	29
5.	Методы преобразования комплексного чертежа …….……........31
6.	Многогранники ................................................................................	37
7.	Кривые поверхности .......................................................................	45

8.Пересечение поверхностей………..……........................................51

9.Развертки кривых поверхностей…………………………………55

Рекомендуемая литература..........................................................................

60

3

Введение или зачем нужно изучать эту дисциплину !

Начертательная геометрия и инженерная графика является фундаментальной общеинженерной дисциплиной необходимой для использования в любой технической отрасли. Она необходима в процессе обучения для понимания и практического применения других важнейших дисциплин. А будущему специалисту в профессиональной практической деятельности знания инженерной графики необходимы для чтения и создания машиностроительных и строительных чертежей, различных схем.

Без умения грамотно строить графическое изображение нельзя создать конструкцию механизма или строительного сооружения, построить железную дорогу, спроектировать сложный прибор, составить смету на строительство дома или на изготовление механизма. Даже владея знаниями и навыками расчета по ряду других важных дисциплин, без черчения невозможно создать техническое изделие, поскольку невозможно применить какие-либо расчеты без чертежа конкретной конструкции проектируемого изделия, а также оформить результаты разработок в виде чертежа конкретной конструкции.

Изображения, выполненные в соответствии с правилами начертательной геометрии и инженерной графики, позволяют воссоздать точную геометрическую форму различных изделий и установить их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, материалы, качество обработки и точность изготовления их поверхностей...

Иными словами, данная дисциплина является языком инженерии.

Этот конспект лекций ориентирован на овладение базовыми знаниями и практическими навыками студентами дневной и заочной форм обучения различных специальностей. Главным достоинством конспекта является краткость и доступность изложенного материала. Кроме необходимой теории в нем приведены примеры решения отдельных задач и сформулированы вопросы для самопроверки.

Принятые обозначения

Точки - А, В, С. D, Е, F, ... 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 ...

Прямые и кривые линии - a, b, c, d, е, ...

Горизонталь - h Фронталь - f Профильная прямая – p

Натуральная величина фигуры – н.в.

Поверхности (плоскости) - θ, Λ, Σ, Γ, Φ, Ω ... или α, β, γ...

Углы - α, β, γ ... - угол, двугранный угол Плоскости проекций: горизонтальная – π1, фронтальная - π2, профильная – π3,

дополнительная – π4, …

АΦ — точка А принадлежит фигуре Φ

АΦ — точка А не принадлежит фигуре Φ

Σ1 ≡ Σ - фигуры Σ1	і Σ совпадают
Σ Φ - объединение фигур Σ и Ф;		Σ Φ - пересечение фигур Φк и Ф
║– не паралельно,	║ – параллельно,	– перпендикулярно;

х, у, z — оси проекций. Индексы при них указывают на соответствующие плоскости проекций. Например, ось х12 разделяет горизонтальную плоскость проекций (индекс 1) и фронтальную плоскость проекций (индекс 2).

Х, Y, Z – координаты точек

А' – плоско-перемещенная проекция т. А, или аксонометрическая проекция А А* - мнимое положение т.А, например, при определении н. в. отрезка методом прямоугольного

треугольника

F0 – индекс «0» указывает на положение точки F на развертке.

4

1. ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ.

План

1.1Предмет начертательной геометрии.

1.2Краткий исторический обзор развития дисциплины.

1.3Методы проецирования.

1.4Комплексный чертеж точки.

1.5Положения точки относительно плоскостей проекций.

1.6Нахождение третьей проекции точки по двум известным.

1.1 Предмет начертательной геометрии

Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучают с помощью изображений их графических моделей на плоскости рисунка.

Знания по начертательной геометрии необходимы для создания технического рисунка инженерам любой специальности. Рисунок должен нести геометрическую информацию о форме и размерах оригинала, должен быть наглядным, простым и точным.

Предмет начертательной геометрии заключается в разработке методов построения и чтения рисунков, по которым можно воссоздать размеры и форму изображаемого изделия, в графическом решении на рисунках геометрических задач, а также в геометрическом моделировании, то есть в создании предмета или оригинала, который отвечал бы заведомо заданным условиям.

Знания по начертательной геометрии необходимы для построения изображений машиностроительных и строительных изделий на рисунках, которые могут оформляться как чертежи, при использовании правил инженерной графики (СКД ДСТУ).

Сейчас абсолютно очевидно повсеместное использование в учебном процессе и на производстве компьютерной графики. Благодаря САПР (системам автоматизированного проектирования) процессы создания технических и строительных чертежей значительно автоматизированы и менее трудоемки. Преимущества компьютерной графики по сравнению с ручным трудом разработчика-чертежника очевидны: легкость хранения и транспортировки графической информации в электронном виде, простота выведения графической информации на бумажный носитель, легкость корректировки чертежей (или создания новых проектов на основе существующих), автоматизация операций нанесения размеров, задания параметров элементов чертежа, вычерчивания повторяющихся элементов, простота оформления основных надписей и спецификаций… Однако базируются все САПР на широком использовании

законов и правил начертательной геометрии и инженерной графики, знания которых также необходимы при работе с САПР.

1.2 Краткий исторический обзор развития дисциплины

Первые рисунки, выполненные с использованием прямоугольных проекций, встречаются уже на стенах древних храмов и дворцов Египта и Ассирии. В цивилизациях Древнего Египта, Древней Греции и Древнего Рима, Византии в архитектурном и кораблестроительном деле использовали графические изображения, содержащие прямоугольные и центральные проекции на одну плоскость.

С развитием этой науки можно связать имена Архимеда, Эвклида, Леонардо да Винчи, Декарта и других выдающихся людей различных эпох. Использование и развитие этой дисциплины в Европе и в России, в состав которой входила большая часть Украины, проходило на протяжении столетий. Известны эскизы плана постройки десятинной церкви в Киеве (конец Х ст.), планы Пскова (XVI ст.), Москвы (XVII ст.), свидетельствующие о том, что уже тогда было представление не только о способах выполнения фасадов и планов, но и об аксонометрии.

5

Начиная со времен Петра I технические рисунки для кораблестроения, гидротехники, архитектуры выполняли, по европейскому образцу, в прямоугольных проекциях. Проекты архитекторов В. В. Растрелли, В. И. Баженова, М. Ф. Казакова, проект дворцового моста И. П. Кулибина, рисунки изобретателя паровой машины И. И. Ползунова – все это сохранилось до наших дней и поражает своей проекционной безупречностью.

Однако полную систему взаимосвязи и взаиморасположения прямоугольных проекций разработал Гаспар Монж (1746 – 1818). В 1795 г. он издал свой труд „Geometrie descriptive” («Описание геометрически»), как аналог координатного способа Декарта при решении геометрических задач. В книге были графически связаны отдельные прямоугольные проекции на вертикальные и горизонтальные плоскости в единую систему. С этого момента начертательная геометрия была выделена как отдельная наука, которая активно развивалась учеными различных стран вплоть до наших дней.

Значительный организационный и методический вклад в развитие графических дисциплин в Украине сделал профессор В. Е. Михайленко.

1.3 Методы проецирования.

Основой начертательной геометрии является метод проекций, дающий возможность получать отображение пространственных фигур на плоскости (или поверхности).

Проекция – это изображение предмета на плоскости чертежа (плоскости проекций), полученное путем прохождения проецирующих лучей под определенным углом зрения через видимую часть поверхности предмета до пересечения с этой плоскостью.

Плоскость проекций - плоскость, на которую проецируется предмет (плоскость чертежа).

Проекции разделяют на центральные и параллельные.

Идею центрального проецирования видно из рисунка

11.3.1. Точка S, из которой выходят проецирующие лучи,

Аназывается центром проекций. Плоскость π1, на которую проецируется предмет, называется плоскостью проекций.

S	В	В1	Плоскость π1 и	точка	S составляют			аппарат центральной
			проекции. Проецируемый треугольник АВС							называется
			оригиналом,	или	натурой.		Чтобы		спроецировать
	C	π1	треугольник, надо из центра проекций S						через		все его
		С1	вершины провести проецирующие лучи до пересечения с
			плоскостью проекций π1. Точки пересечения А1, В1, С1
	Рисунок 1.3.1		называются центральными проекциями вершин А, В, С на
			плоскость π1, а треугольник А1В1С1 – центральной
			проекцией треугольника АВС.
			При параллельном проецировании (рисунок 1.3.2)
		π1	выбирают плоскость проекций π1, но вместо								центра
			проекций S задают направление проецирования								s, т.е.
	А	А1	считают, что точка S –			центр	проекций			– удалена в
S	В	В1	бесконечность	и поэтому		проецирующие			лучи взаимно
			параллельны. Плоскость π1 и направление							s составляют
			аппарат параллельной проекции. Чтобы спроецировать
	C	С1	треугольник АВС на плоскость π1, проводят через вершины
			А, В, С проецирующие лучи параллельно							направлению
			проецирования S. Треугольник				А1В1С1,			образованный
			вследствие пересечения лучей АА1, ВВ1, СС1							с плоскостью
	Рисунок 1.3.2		π1, является параллельной проекцией треугольника АВС.
			Параллельные		проекции			разделяют			на
			прямоугольные и косоугольные.

6

Если параллельные проецирующие лучи перпендикулярны

к плоскости проекций (рисунок 1.3.3), то такой способ

S

проецирования

называют

прямоугольным,

а

проекции,

получаемые при этом, - прямоугольными, или ортогональными.

Если угол наклона лучей к π1

отличен от

90°,

то

такая

параллельная проекция называется косоугольной.

900

В черчении используется параллельное прямоугольное

900

проецирование, поскольку оно способно передавать форму и

π1

размеры оригинала без искажения.

пространства

являются

Формообразующими

элементами

Рисунок 1.3.3

основные геометрические фигуры – точка, прямая и

плоскость, из которых состоят более сложные геометрические

фигуры. Геометрическая фигура – тело с неизменным

расположением всех его точек относительно друг друга

1.4 Комплексный чертеж точки

•А- ?

Одна прямоугольная проекция точки не определяет ее

положения в пространстве. Например (рисунок 1.4.1),

•А- ?

проекция А1

соответствует

в

пространстве

множеству

положений точки А, лежащих на проецирующем луче,

π1

проходящем

перпендикулярно

к

плоскости

проекций

π1. Двумя прямоугол ьными проекциями на две взаимно

перпендикулярные

плоскости

можно

определить

•А1

положение

точки

или

любого

другого

объекта

в

пространстве. Однако в практическом черчении

при

построении изображений для лучшей наглядности и

Рисунок 1.4.1

читаемости

чертежа

обычно

используют

три

взаимно

перпендикулярные плоскости проекций.

Воспользуемся

тремя

взаимно перпендикулярными

z

плоскостями проекций: (рисунок 1.4.2) π1 – горизонтальной,

π2 – фронтальной и π3 – профильной. Линии пересечения

π2

А2

Аz=ZA

этих плоскостей х, у,

z являются осями проекций, точка

пересечения осей О – начало осей проекций.

Разместим точку А в пространстве трехгранного угла,

А

А3

образуемого плоскостями проекций π1, π2, π3, и построим её

х

Ах=ХА

О

π3

проекции на данные плоскости посредством проведения из

точки А проецирующих лучей перпендикулярно к плоскостям

проекций до пересечения с ними в точках А1

(на π1), А2

(на

π2), А3 (на π3) . Т.о. А1

– горизонтальная, А2

–

фронтальная

А1

Аy=YA

и А3 – профильная проекции точки А (проекции

обозначают той же буквой, которой обозначена самая точка, с

π1

индексом 1 – для горизонтальной, 2 – для фронтальной и 3 –

для профильной проекций). Перпендикуляр АА1 – называется

y

горизонтально-

проецирующим,

АА2

– фронтально-

проецирующим и АА3 – профильно-проецирующим лучами.

Рисунок 1.4.2

Проецирующие лучи АА1 π1, АА2

π2, АА3 π3. АX, AY,

AZ – являются координатами т. А, или её проекциями на оси

х, у, z соответственно.

оси у

Считая трехгранный

угол из плоскостей проекций π1,

π2, π3

разрезанным

по

(рисунок 1.4.2) и оставляя неподвижной фронтальную плоскость проекций π2, вращаем

горизонтальную плоскость π1

вокруг оси х вниз на 90°, а профильную π3 – вокруг оси z вправо

7

на 90° до их совмещения с фронтальной плоскостью π2. Направления вращения показаны на рисунке 1.4.2 стрелками. Развернутое в одну плоскость чертежа изображение трех плоскостей проекций (рисунок 1.4.3) вместе с построенными на них проекциями А1, А2, А3 называют комплексным чертежом точки А. Т.к. ось у разворачивалась вместе с двумя плоскостями проекций, то на комплексном чертеже имеет два положения: вертикальное положение (вниз от точки О) и горизонтальное положение (вправо от точки О).

Прямая, соединяющая две проекции одной точки на комплексном чертеже, называется

линией проекционной связи.

					Из рисунка 1.4.3 можно сделать следующие
		z			выводы:
	π2			π3	a) Горизонтальная		А1	и	фронтальная А2
	А2		A3		проекции т. А всегда расположены на
		AZ			вертикальной линии связи;					проекции т.
х	АХ	О	АY	y	b) Фронтальная А2		и профильная А3
					А	всегда	расположены			на	одной
					горизонтальной линии связи;
					c) Горизонтальная А1 и профильная А3						проекции
	А1	АY	А0		т. А	размещаются на линиях связи, которые
	π1	у		К	пересекаются		на	биссектрисе			угла,
					образуемого обеими осями у.
		Рисунок 1.4.3			Эта	биссектриса		получила			название
					постоянной прямой чертежа и обозначается буквой
					К, а линия связи А1А0А3				–	называется
					горизонтально-вертикальной линией связи.
Для точки А, лежащей в пространстве трехгранного угла, образуемого плоскостями π1, π2,
π3 (рисунки 1.5, 1.6), с координатами XA, YA, ZA действительны следующие равенства:

-расстояние от точки А до π1: АА1 = А2АX=А3AY= ZA.

-расстояние от точки А до π2: АА2 = А1AX=А3AZ= YA.

-расстояние от точки А до π3: АА3 = А2AZ=А1AY= XA.

-расстояние от точки А до оси х: ААX = А3О.

-расстояние от точки А до оси у: АAY = А2О.

-расстояние от точки А до оси z: АAZ = А1О.

-расстояние от точки А до начала координат (т.О) можно определить дважды применив теорему Пифагора (рис. 1.5):

Из ∆АА3АZ : ААZ2 = AA32 + A3 AZ2 = X A2 +YA2

Из ∆ААZО : АO2 = AA2	+ A O2	= X 2	+Y 2	+ Z 2		AO = X 2		+Y 2	+ Z 2 .
Z	Z	A	A	A			A	A	A

1.5 Положения точки относительно плоскостей проекций.

Принципиально возможны четыре положения точки относительно системы плоскостей проекций.

В первом случае положение точки А (x,y,z) в пространстве задают тремя координатами, отличными от нуля. Все три проекции точки отдалены от осей и от плоскостей проекций (рисунок 1.5).

Во втором случае точка может лежать в одной из плоскостей проекций, например в π2: т. В (x,0,z) на рисунке 1.5. В этом случае фронтальная проекция В2 совпадает с самой точкой В (В2 ≡ В), горизонтальная проекция В1 лежит на оси х, а профильная В3 – на оси z.

8

В третьем случае точка может лежать на одной из осей проекций, например на y : т. С (0,y,0) на рисунке 1.5. В этом случае расстояние от точки до π1 и π3, в которых она належит, равняются нулю, то есть точку задают лишь одной координатой у. Две проекции такой точки совпадают с самой точкой, а третья лежит в начале осей – в точке О.

Рисунок 1.5

В четвертом возможном случае положение точки D совпадает с началом координат, тогда т. D совпадает со всеми тремя своими проекциями и т. О – началом координат: D≡D1≡D2≡D3≡O.

1.6Нахождение третьей проекции точки по двум известным.

Вчерчении часто приходится строить третью проекцию фигуры по двум известным. Чтобы выполнить это, следует научиться строить третью проекцию точки, как элемента любой фигуры, если известные две ее проекции. Это можно сделать тремя способами.

	Первый способ – проекционный (рисунок
	1.6.1). Из известной фронтальной проекции А2,
	точки	А,	проводят горизонтальную		линию
	связи.	Из известной горизонтальной проекции А1
	опускают		перпендикуляр на	вертикальную ось
	ОY, получают точку АY и с помощью циркуля или
	из условия равнобедренного прямоугольного
Рисунок 1.6.1	треугольника находят на горизонтальной оси OY
	положение		точки АY. Из	этой АY	проводят

вертикальную линию связи до пересечению с горизонтальной линией связи, проведенной из А2. Точка пересечения А3 и есть профильная проекция т. А.

Второй способ – координатный (рисунок 1.6.2). Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Измеряют циркулем расстояние от проекции А1 до оси ОХ, т.е. координату у, и откладывают отрезок на горизонтальной линии связи по правую сторону от точки АZ. На конце отрезка получают профильную проекцию А3.

9

Третий способ – способ с использованием постоянной прямой чертежа (рисунок 1.6.3). Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 проводят горизонтальную линию до пересечения в точке АО с

постоянной прямой чертежа К , т.е. с биссектрисой угла

YOY. Из точки АО проводят вертикальную линию до пересечения в т. А3 с горизонтальной линией связи, проведенной из фронтальной проекции А2.

Из всех рассмотренных способов координатный способ имеет наименьшую погрешность, т.к. требует наименьшего количества линий построения.

Рисунок 1.6.2
	Выводы
	 Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором
	пространственные		фигуры	изучают с	помощью
	изображений их графических моделей на плоскости
	рисунка.
	 Основой начертательной геометрии является метод
	проекций, дающий возможность получать отображение
	пространственных фигур на плоскости или поверхности.
	 Проекция – это изображения предмета на плоскости или
	поверхности,		полученное	путем	прохождения
	проецирующих лучей через предмет до пересечения с
	заданной плоскостью (плоскостью проекций) или
	поверхностью.
Рисунок 1.6.3	 Проекции делятся на центральные и параллельные.
	Параллельные	проекции делятся на прямоугольные и

косоугольные. Наиболее распространенной системой, которая применяется в машиностроении, в архитектуре и

строительстве, является система прямоугольных проекций.

Совокупностью двух или трех прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярные плоскости можно определить форму и положение в пространстве объектов проецирования.

Вопросы для самопроверки

1.Что изучает начертательная геометрия?

2.Какой метод лежит в основе начертательной геометрии?

3.В чем состоит суть центрального и параллельного проецирования?

4.Какой вид проецирования применяется в черчении и почему?

5.Каким образом называются и обозначаются три основные плоскости проекций?

6.Что такое комплексный чертеж точки и как его получают?

7.Какими способами можно построить третью проекцию точки по двум известным?

Задачи для самостоятельной работы

1.Построить комплексный чертеж двух точек, расположенных на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций π2 и π3. Запишите их координаты.

2.Построить на комплексном чертеже три проекции точек: А(40,60,10); В(0,18,50); С(60,0,30); D(0,30,0). Построить наглядное изображение этих точек.

10