Бережная е.В., Бережной в.И. Математические методы моделирования экономических систем

Рассматриваются методы моделирования экономических систем с использованием Марковских случайных процессов, моделирование систем массового обслуживания, методы и модели корреляционного-регрессионного анализа и прогнозирования временных рядов экономических показателей. Приводятся оптимизационные методы и модели в управлении экономическими системами, линейное программирование, а также транспортные задачи линейного программирования, теория игр и принятия решений.

Полезно при изучении методов формализованного представления систем и методов моделирования систем. В хрестоматии предлагается краткий обзор математических методов моделирования экономических систем.

Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях

Под событием понимается всякий факт, который может произойти в данных условиях. Теория вероятностей рассматривает события в тесной связи с теми условиями, в которых они наступают. Совокупность условий, в которых рассматривается данное событие, называют комплексом условий, а реализацию этого комплекса условий на практике – испытанием. В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Всякому событию при данном комплексе условий соответствует определенная степень возможности. Более возможные события при многократных испытаниях в среднем наступают чаще, а менее возможные – реже. Частотой события называется отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие, и общего числа испытаний.

Свойство устойчивости частоты случайного события отражает связь между комплексом условий и возможностью наступления событий при данном комплексе. Количественной мерой степени возможности появления события для заданного комплекса условий является вероятность события. Чем более возможно появление случайного события, тем больше его вероятность. Наоборот, чем менее возможно появление события, тем меньше его вероятность. [Бережная, с.5-8]

Моделирование экономических систем с использованием Марковских случайных процессов

Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной.

Случайная функция X(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом.

Марковские процессы являются частным видом случайных процессов. Особое место Марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для Марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью Марковских процессов можно описать (точно или приближенно) поведение достаточно сложных систем.

Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется Марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t₀) зависит только от ее состояния в настоящем (при t=t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.

Классификация Марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности или дискретности множества значений функций X(t) и параметра t. Различают следующие основные виды Марковских случайных процессов:

• с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);

• с непрерывными состояниями и дискретным временем (Марковские последовательности);

• с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова);

• с непрерывным состоянием и непрерывным временем [Бережная, с.41-42].

Компоненты и классификация моделей массового обслуживания

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования СМО подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами СМО могут служить:

• посты технического обслуживания автомобилей;

• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;

• телефонные станции и т.д.

Основными компонентами СМО любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

• дисциплина очереди;

• механизм обслуживания.

Раскроем содержание каждого из указанных выше компонентов.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющих последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди – это важный компонент СМО, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел – первым обслуживаешься;

• пришел последним – обслуживаешься первым;

• случайный отбор заявок;

• отбор заявок по критерию приоритетности;

• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т.п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько: система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т.е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой СМО определяются следующими основными факторами:

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);

• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;

• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательно или параллельно-последовательное обслуживание);

• количеством и производительностью обслуживающих каналов;

• дисциплиной очереди;

• мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования СМО в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

• относительная и абсолютная пропускная способность системы;

• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

• среднее время ожидания в очереди;

• средняя длина очереди;

• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

По характеру случайного процесса, происходящего в СМО, различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. В случае немарковских процессов задачи исследования СМО значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в СМО, различают два основных вида СМО:

• системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

• системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

СМО делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться: длина очереди, время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

Все СМО различают по числу каналов обслуживания: одноканальные и многоканальные системы.

На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем [Бережная, с.82-86].

Статистическое моделирование экономических систем

Метод статистического моделирования (или метод Монте-Карло) – это способ исследования поведения вероятностных систем (экономических, технических и т.д.) в условиях, когда не известны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах.

Этот метод заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса. Одно такое воспроизведение функционирования системы называют реализацией или испытанием. После каждого испытания регистрируют совокупность параметров, характеризующих случайный исход реализации. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматриваемого процесса в виде статистических оценок его параметров. Процесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайностями.

Первые сведения о методе Монте-Карло были опубликованы в конце 40-х гг. Авторами метода являются американские математики Дж.Нейман и С.Улам. В нашей стране первые работы были опубликованы в 1955-1956 гг. В.В.Чавчанидзе, Ю.А.Шрейдером и В.С.Владимировым.

Основой метода статистического моделирования является закон больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к некоторым постоянным величинам [Бережная, с.117-118].

Авторами учебного пособия предлагается пример для оценки интенсивности потока отказов ПК (с.124) и рассматривается моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем (с.130-135).

Методы и модели корреляционно-регрессионного анализа

Большинство явлений и процессов в экономике находятся в постоянной взаимной и всеохватывающей объективной связи. Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет большую роль в экономике. Оно дает возможность глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений между явлениями. Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей широко применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования, планирования и анализа хозяйственной деятельности предприятий.

Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями:

• функциональную;

• стохастическую (вероятностную, статистическую).

В случае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества А на множество В. Множество А называют областью определения функции, а множество В – множеством значений функции.

Функциональная зависимость встречается редко. В большинстве случаев функция (Y) или аргумент (X) – случайные величины. X и Y подвержены действию различных случайных факторов, среди которых могут быть факторы, общие для двух случайных величин.

Если на случайную величину Х действуют факторы Z₁, Z₂, ..., V₁, V₂, а на Y – Z₀, Z₂, V₁, V₃ ... , то наличие двух общих факторов Z₂ и V₁ позволяет говорить о вероятностной или статистической зависимости между X и Y.

Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

В частном случае статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется математическое ожидание другой. В этом случае говорят о корреляции или корреляционной зависимости.

Статистическая зависимость проявляется только в массовом процессе, при большом числе единиц совокупности.

В экономике приходится иметь дело со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, к числу случайных величин можно отнести: стоимость продукции, доходы предприятия, межремонтный пробег автомобилей, время ремонта оборудования и т.д.

Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия. Она устанавливает соответствие между этими величинами.

Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции, которая называется регрессией.

Перечислим различные виды регрессий.

1. Регрессия относительно числа переменных:

• простая регрессия – регрессия между двумя переменными;

• множественная регрессия – регрессия между зависимой переменной y и несколькими объясняющими переменными x1, x2, ... .

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_mx_m

где y – функция регрессии; x₁, x₂, ..., x_m – независимые переменные; a₁, a₂, ... , a_m – коэффициенты регрессии; a₀ – свободный член уравнения; m – число факторов, включаемых в модель.

2. Регрессия относительно формы зависимости:

• линейная регрессия, выражаемая линейной функцией;

• нелинейная регрессия, выражаемая нелинейной функцией.

3. В зависимости от характера регрессии различают следующие ее виды:

• положительную регрессию. Она имеет место, если с увеличением (уменьшением) объясняющей переменной значения зависимой переменной также соответственно увеличиваются (уменьшаются);

• отрицательную регрессию. В этом случае с увеличением или уменьшением объясняющей переменной зависимая переменная уменьшается или увеличивается.

4. Относительно типа соединения явлений различают:

• непосредственную регрессию. В этом случае зависимая и объясняющая переменные связаны непосредственно друг с другом;

• косвенную регрессию. В это случае объясняющая переменная действует на зависимую через ряд других переменных;

• ложную регрессию. Она возникает при формальном подходе к исследуемым явлениям без уяснения того, какие причины обусловливают данную связь.

Регрессия тесно связана с корреляцией. Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями. Связи между явлениями могут быть различны по силе. При измерении тесноты связи говорят о корреляции в узком смысле слова. Если случайные переменные причинно обусловлены и можно в вероятностном смысле высказаться об их связи, то имеется корреляция.

Понятие «корреляция» и «регрессия» тесно связаны между собой. В корреляционном анализе оценивается сила связи, а в регрессионном анализе исследуется ее форма. Корреляция в широком смысле объединяет корреляцию в узком смысле и регрессию.

Корреляция, как и регрессия, имеет различные виды.

1. Относительно характера корреляции различают: положительную; отрицательную.

2. Относительно числа переменных: простую, множественную, частную.

3. Относительно формы связи: линейную, нелинейную.

4. Относительно типа соединения: непосредственную, косвенную, ложную.

Любое причинное влияние может выражаться либо функциональной, либо корреляционной связью. Но не каждая функция или корреляция соответствует причинной зависимости между явлениями. Поэтому требуется обязательное исследование причинно-следственных связей.

Исследование корреляционных связей мы называем корреляционным анализом, а исследование односторонних стохастических зависимостей – регрессионным анализом. Корреляционный анализ и регрессионный анализ имеют свои задачи.

К задачам корреляционного анализа относятся следующие:

1. Измерение степени связности (тесноты, силы) двух и более явлений. Здесь речь идет в основном о подтверждении уже известных связей.

2. Отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативных признак, на основании измерения тесноты связей между явлениями.

3. Обнаружение неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между явлениями, но устанавливает степень необходимости этих связей и достоверность суждений об их наличии. Причинный характер связей выясняется с помощью логически-профессиональных рассуждений, раскрывающих механизм связей.

Перечислим задачи регрессионного анализа.

1. Установление формы зависимости (линейная или нелинейная; положительная или отрицательная и т.д.).

2. Определение функции регрессии и установление влияния факторов на зависимую переменную. Важно не только определить форму регрессии, указать общую тенденцию изменения зависимой переменной, но и выяснить, каково было бы действие на зависимую переменную главных факторов, если бы прочие не изменялись и если бы были исключены случайные элементы. Для этого определяют функцию регрессии в виде математического уравнения того или иного вида.

3. Оценка неизвестных значений зависимой переменной, т.е. решение задач экстраполяции и интерполяции. В ходе экстраполяции распространяются тенденции, установленные в прошлом, на будущий период. В ходе интерполяции определяют недостающие значения, соответствующие моментам времени между известными моментами, т.е. определяют значения зависимой переменной внутри интервала заданных значений факторов [Бережная, с.137-140].

Методы и модели прогнозирования временных рядов экономических показателей

Среди большого разнообразия экономико-математических методов, используемых для решения задач управления предприятием, особое место занимают методы и модели прогнозирования.

Следует различать два понятия, связанных с прогнозированием, - предсказание и собственно прогнозирование.

Под предсказанием понимают суждение о будущем состоянии процесса, основанное на субъективном «взвешивании» большого числа факторов качественного и количественного характера. Прогнозирование – это исследовательский процесс, в результате которого получают прогноз о состоянии объекта. Прогноз является вероятностным суждением о возможном состоянии объекта или об альтернативных путях его достижения. Известно большое количество методов, методик и способов прогнозирования. Все они основаны на двух крайних подходах: эвристическом и математическом.

Эвристические методы базируются на использовании явлений или процессов, не поддающихся формализации.

Для математических методов прогнозирования характерен подбор и обоснование математической модели исследуемого процесса, а также способов определения ее неизвестных параметров. Задача прогнозирования при этом сводится к решению уравнений, описывающих данную модель для заданного момента времени.

Среди математических методов прогнозирования в особую группу выделяются методы экстраполяции, которые отличаются простотой, наглядностью и легко реализуются на ЭВМ. Методологическая предпосылка экстраполяции состоит в признании преимущественной связи между прошлым, настоящим и будущим. При этом развитие экономических явлений наиболее полно находит свое отражение во временных рядах, которые представляют собой упорядоченные во времени наборы измерений каких-либо характеристик исследуемого объекта, процесса.

В настоящее время разработана большая группа экстраполяционных методов прогнозирования отдельных экономических показателей. В данной группе методов можно выделить:

1. Методы, основанные на построении многофакторных корреляционно-регрессионных моделей.

2. Методы авторегрессии, учитывающие взаимосвязь членов временного ряда.

3. Методы, основанные на разложении временного ряда на компоненты: главная тенденция (тренд), сезонные колебания и случайная составляющая.

4. Методы, позволяющие учесть неравнозначность исходных данных.

5. Методы прямой экстраполяции, при это используются разные трендовые модели. <...>

Вычислительные процедуры рассмотренных методов прогнозирования громоздки и трудоемки. Задача исследователя значительно облегчается при использовании пакета прикладных программ для ПЭВМ, в основу которых положены алгоритмы прогнозирования методами наименьших квадратов и экспоненциального сглаживания [Бережная, с.157-159, 184].

Оптимизационные методы и модели в управлении экономическими системами

Линейное программирование

Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача математически записывается так:

U=f(X)max; XW,

где X=(x₁, x₂, ..., x_n); W – область допустимых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n; f(Х) – целевая функция.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.к. указать X₀W такое, что f(X₀)>=f(X) при любом значении XW, или для случая минимизации - (X₀)<=f(X) при любом значении XW.

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция f(X) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(X), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

В математическом программировании принято выделять следующие основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(X) и от области W:

• задачи линейного программирования, если f(X) и W линейны;

• задачи целочисленного программирования, если ставится условие целочисленности переменных x₁, x₂, ..., x_n;

• задачи нелинейного программирования, если форма f(X) носит нелинейный характер [Бережная, с. 187-188].

При постановке задач линейного программирования определяют допустимое множество решений задачи W (систему ограничений линейного программирования), линейную функцию f(X) (целевую функцию или критерий оптимальности).

Транспортные задачи линейного программирования

Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов.

<...> Наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

• прикрепление потребителей ресурса к производителям;

• привязка пунктов отправления к пунктам назначения;

• взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;

• отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;

• оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.

Рассмотрим экономико-математическую модель прикрепления пунктов отправления к пунктам назначения. Имеются m пунктов отправления груза и объемы отправления по каждому пункту a₁, a₂, ..., a_m. Известна потребность в грузах b₁, b₂, ..., b_n по каждому из n пунктов назначения. Задана матрица стоимостей доставки по каждому варианту c_ij, i=1,m, j = 1,n. Необходимо рассчитать оптимальный план перевозок, т.е. определить сколько груза должно быть отправлено (от поставщика) в каждый j-й пункт назначения (до потребителя) x_ij с минимальными транспортными издержками.

В общем виде исходные данные представлены в таблице.

Таблица 2

Исходные данные

Потребители Производители	B1	B2	...	Bn	Запасы (объемы отправления)
А1	c11 x11	c12 x12	...	c1n x1n	a1
А2	c21 x21	c22 x22	...	c2n x2n	a2
…	...	...	...	...	...
Аm	cm1 xm1	cm2 xm2	...	cmn xmn	am
Потребность	b1	b2	...	bn

Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения.

Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют открытой.

Для написания модели необходимо все условия (ограничения) и целевую функцию представить в виде математических уравнений.

Все грузы из i-х пунктов должны быть отправлены (x_ij=a_i).

Все j-е пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в плановом объеме (x_ij=b_j).

Суммарные объемы отправления должны равняться суммарным объемам назначения <...>.

Должно выполняться условие неотрицательности переменных:

x_ij>=0, i=1,m, j=1,n.

Перевозки необходимо осуществить с минимальными транспортными издержками (функция цели):

_{m n}

Z_min= c_ijx_ij

^{i=1 j=1}

В модели вместо матрицы стоимости перевозок (c_ij) могут задаваться матрицы расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортной работы. <...> Уравнение баланса является обязательным условием решения транспортной задачи. Поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача, то ее необходимо привести к закрытой форме. В случае если

• потребности по пунктам назначения превышают запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающим объемом отправления;

• запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом потребления.

Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют нулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.

Транспортным задачам присущи следующие особенности:

• распределению подлежат однородные ресурсы;

• условия задачи описываются только уравнениями;

• все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;

• во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;

• каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.

Транспортные задачи могут решаться симплекс-методом. Однако перечисленные особенности позволяют для транспортных задач применять более простые методы решения [Бережная, с.268-270].

Теория игр и принятия решений. Основные понятия

Рассмотренные задачи линейного программирования формулировались и решались в предположении наличия полной информации. Их можно отнести к совокупности задач принятия решений в условиях определенности. <...> В реальных экономических условиях приходится решать отдельные задачи при ограниченности, неточности исходной информации о самом объекте и внешней среде, в которой он функционирует и развивается.

При принятии управленческих решений о функционировании и развитии экономического объекта необходимо учитывать важную характеристику внешней среды – неопределенность.

Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации. В условиях рыночной экономики существует множество источников возникновения неопределенности для различных экономических объектов. <...>

Неопределенность обусловливает появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решения). Среди различных видов ситуаций, с которыми в процессе производства сталкиваются предприятия, особое место занимают ситуации риска.

Под ситуацией риска следует понимать сочетание, совокупность различных обстоятельств и условий, создающих обстановку того или иного вида деятельности. Ей сопутствуют три условия. Это

• наличие неопределенности;

• необходимость выбора альтернативы (отказ от выбора таковых является разновидностью альтернативы);

• возможность оценить вероятность осуществления выбираемых альтернатив.

Таким образом, если существует возможность количественно и качественно определить степень вероятности того или иного варианта, то это и будет ситуация риска.

Для того чтобы снять ситуацию риска, руководители предприятий вынуждены принимать решения и стремиться реализовать их. Этот процесс находит свое выражение в понятии «риск». Несмотря на то что риск объективно присутствует во всех сферах общественной жизни и в большинстве видов управленческой деятельности, обнаруживается, что понятие «риск» до сих пор не получило универсальной трактовки.

Следует упомянуть об экономическом риске применительно к процессам принятия решений в условиях неопределенности и риска, иными словами, в условиях дефицита информации или неуверенности в достоверности информации. В этом случае риск предстает в виде совокупности вероятных экономических, политических, нравственных и других положительных и неблагоприятных последствий, которые могут наступить при реализации выбранных решений. Определим риск как целенаправленные действия, в ходе которых имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения желаемого результата, неудачи и отклонения от цели (положительного или отрицательного свойства).

Процесс установления рыночных отношений в нашей стране порождает различные виды рисковых ситуаций, более того, в работе предприятий риск становится необходимым и обязательным его компонентом.

Чтобы проиллюстрировать различие между ситуациями, когда решение приходится принимать в условиях риска или в условиях неопределенности, рассмотрим задачу оптимального выбора ассортимента продукции.

В условиях риска доход c_j от реализации единицы продукции j не является фиксированной величиной. Напротив, это случайная величина, точное числовое значение которой не известно, но описывается с помощью функции распределения f(c_j). Часть дохода c_jx_j, определяемая продукцией j, также случайная величина, если даже значение переменной x_j, определяющей уровень выпуска продукции j, задано.

В условиях неопределенности функция распределения f(c_j) неизвестна. В действительности неопределенность не означает полного отсутствия информации о задаче. Например, известно, что c_j может принимать пять значений, но неизвестны вероятности этих значений. Эта ситуация рассматривается как принятие решений в условиях неопределенности.

Таким образом, с точки зрения полноты исходных данных определенность и неопределенность представляют два крайних случая, а риск определяет промежуточную ситуацию, в которой приходится принимать решение.

Степень неинформированности данных определяет, каким образом задача формализуется и решается.

При решении задач в условиях неопределенности внешней среды наиболее часто возникают две ситуации. При первой ситуации саама система препятствует принятию решений, например, задача составления графика выпуска на работу подвижного состава, занимающегося перевозкой сельхозпродукции, в зависимости от того, будет дождь или нет. В этой задаче природа будет восприниматься как «доброжелательный» противник.

Во второй ситуации возможно наличие конкуренции, когда два (или более) участника находятся в конфликте и каждый стремится как можно больше выиграть у другого (других). Эта ситуация отличается от обычных процессов принятия решений в условиях неопределенности тем, что лицу, принимающему решение, противостоит мыслящий противник. Теория, в которой рассматриваются задачи принятия решений в условиях неопределенности при наличии противника («доброжелательного» или мыслящего), известна как теория игр [Бережная, с.294-296].

Теория игр

В отличие от задач принятия решений в условиях неопределенности, риска и неопределенности, в которых внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, в конфликтных ситуациях имеются противодействующие стороны, интересы которых противоположны. При конфликтных ситуациях решения принимаются в условиях неопределенности двумя и более разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои решения за счет других. Теория, занимающаяся принятием решений в условиях конфликтных ситуаций, называется теорией игр. Математическая модель конфликтной ситуации представляет собой игру.

Игра – это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

• выбор образа действий игроков на каждом этапе игры;

• информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;

• плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.

Игру можно определить следующим образом:

• имеется n конфликтующих сторон (игроков), принимающих решения, интересы которых не совпадают;

• сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам;

• определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш);

• всем игрокам (участникам игры) заранее известны платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию.

Платежи задаются в виде матрицы A=||a_ij||.

В зависимости от числа конфликтующих сторон игры делятся на парные (с двумя игроками) и множественные (имеющие не менее трех игроков). Каждый игрок имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов, т.е. стратегий.

Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока от начала игры до ее завершения. Стратегии каждого игрока определяют результаты или платежи в игре. Игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий. Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно задавать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным стратегиям, а ее элементы – выигрышам одной стороны (равные проигрышам с другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.

Решение игры состоит в определении наилучшей стратегии каждым игроком. Выбор наилучшей стратегии одним игроком проводится при полном отсутствии информации о принимаемом решении вторым игроком. Следует отметить, что и первый, и второй игрок являются разумными противниками, которые находятся в состоянии конфликта. Поэтому для решения игры двух лиц с нулевой суммой используется очень «пессимистичный» критерий, так называемый критерий мини-макси-максимина [Бережная, с.314-315].