Часть III Специальные разделы теории вероятностей и математической статистики Введение

Рассматривается некоторые разделы «Теории вероятностей и математической статистики», которые чаще всего отдается для самостоятельного изучения.

Случайные процессы играют важную роль в изучении природных и социальных явлений. Курс математики для экономистов не предполагает глубокого изучения раздела теории вероятностей «Случайные процессы». В данной методической разработке даются только основные понятия, определения случайного процесса и основные характеристики. Более подробно рассмотрены цепи Маркова.

В экономических задачах довольно часто исследуется влияние качественного фактора на результативные признак. Дисперсионный анализ является статистическим методом анализа результатов от действия качественных факторов. В параграфе 7 рассмотрен однофакторный дисперсионный анализ. Элементы дисперсионного анализа более полно представлены в дисциплине «Эконометрика», которые студенты изучают после освоения курса «Математика».

В курсе «Математика» для экономистов кратные интегралы представлены в ознакомительной форме. Поэтому многомерные непрерывные случайные величины почти не рассматриваются в разделе «Теория вероятностей!.

В работе рассмотрены только двумерные дискретные случайные величины. Введено понятие условного математического ожидания и условной дисперсии. Рассмотрено понятие корреляционной зависимости случайных величин. Описано построение линейного уравнения регрессии.

§1. Случайные процессы (основные понятия)

Рассматривается семейство случайных величин, которые задаются при помощи параметра. Этим параметром часто является время.

Например, стаж работы рабочего на станке является параметром , а случайная величинапоказывает число деталей, выпущенных рабочим за неделю.

Случайным процессом называется семейство случайных величин заданных на вероятном пространстве, гдеT – множество значений параметра.

Если зафиксировать параметр , тоявляется случайной величиной. При фиксированном параметреи фиксированном элементарном исходемы получаем значение случайной величиныЭто значениеназываетсяреализацией случайного процесса.

Если множество значений параметра t является дискретным, то случайный процесс называется процессом с дискретным временем.

Параметр t часто интерпретируется как время. Поэтому всегда . Так последовательность случайных величинможно рассматривать как случайный процесс с дискретным временем:

Если параметр изменяется на некотором интервале, то получаемслучайный процесс с непрерывным временем.

Процесс называется с непрерывными значениями, если при любом фиксированном времени , случайная величинаявляется непрерывной.

Процесс называется с дискретными значениями, если при любом фиксированном времени случайная величинаявляется дискретной.

Математическим ожиданием случайного процесса называется траектория математических ожиданий случайных величин

Аналогично определяется дисперсия случайного процесса:

.

Случайный процесс считается заданным, если для любого набора указано многомерное распределение.

Разным набором временных значений должны соответствовать согласованные многомерные распределения:

Важна взаимосвязь случайных величин, образующих случайный процесс.

Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного процесса называется функция

.

При фиксированных значениях изначениеявляется ковариацией случайных величин