- •Часть III Специальные разделы теории вероятностей и математической статистики Введение
- •§1. Случайные процессы (основные понятия)
- •§ 2. Цепи Маркова
- •§ 3. Двумерная случайная величина, ее распределение. Распределение каждой из компонент.
- •§ 4. Условные законы распределения вероятностей, составляющих дискретной, двумерной, случайной величин. Условное математическое ожидание. Условная дисперсия
- •§ 5. Корреляционная зависимость. Генеральный корреляционный коэффициент детерминации
- •§ 6. Линейная функция регрессии
- •§ 7. Однофакторный дисперсионный анализ
- •§ 8. Регрессионный анализ
- •8.1. Построение выборочного уравнения линейной регрессии по негруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции
- •8.2. Корреляционная таблица. Выборочное линейное уравнение регрессии по сгруппированным данным
- •Вопросы и задачи к части 3.
- •Список литературы Основная литература
- •Таблицы
§ 5. Корреляционная зависимость. Генеральный корреляционный коэффициент детерминации
Функция описывающая изменения условного математического ожидания случайной величиныпри изменении значенийх переменной Х, называется функцией регрессии. Если при изменении х условное математическое ожидание изменяется, то говорят, что имеет местокорреляционная зависимость от Х. Если , то корреляционной зависимостиY от Х нет.
Условное математическое ожидание является случайной величиной, она принимает значенияс той же вероятностью, с которой случайная величинаХ принимает значение
Математическое ожидание случайной величины совпадает с математическим ожиданием случайной величины
Условная дисперсия является случайной величиной, она принимает значенияс той же вероятностью, с которой случайная величинаХ принимает значение
Найдем среднее значение условной дисперсии:
Разброс значений случайной величины относительноопределяется ее дисперсиейЭтот разброс появляется из-за непосредственной зависимости от случайной величиныи из-за случайных факторов, действующих наY через Х. Справедливо тождество:
1. Величина
показывает разброс значений случайной величины связанных с ее зависимостью от фактораХ.
2. Влияние стохастических (остаточных) факторов на разброс значений указывает величина
Во введенных обозначениях имеем:
.
Степень стохастической зависимости отХ измеряется генеральным корреляционным коэффициентом детерминации.
Укажем свойства генерального корреляционного отношения как измерителя степени корреляционной и стохастической зависимости.
1.
2. Условие является необходимым и достаточным для отсутствия корреляционной зависимости:
Чем ближе генеральный коэффициент детерминации к нулю, тем меньше разброс относительных математических ожиданий относительно
3. Условие является необходимым и достаточным условием для функциональной зависимостиот.
При приближении к единице для каждого допустимого значениях уменьшается разброс значений относительноУвеличивается степень стохастической зависимостиот.
Пример 1. Задан совместный закон распределения случайных величин и.
|
1 |
3 |
4 |
2 |
0,1 |
0,05 |
0,2 |
3 |
0,15 |
0,2 |
0,3 |
Случайная величина зависит от независимой переменной. Вычислить генеральный корреляционный коэффициент детерминации.
Найдем закон распределения случайной величины :
2 |
3 | |
0,35 |
0,65 |
Найдем закон распределения случайной величины :
.
1 |
3 |
4 | |
0,25 |
0,25 |
0,5 |
Найдем основные характеристики случайной величины :
Определим условный закон распределения случайной величины при условии
1 |
3 |
4 | |
Вычислим условное математическое ожидание и условную дисперсию при условии
.
Перейдем к условию
Определим условные закон распределения случайной величины при условии
1 |
3 |
4 | |
Вычислим условное математическое ожидание и условную дисперсию при условии
Условное математическое ожидание не изменяется.
Тогда, Корреляционная зависимость отсутствует.
Пример 2. Задан совместный закон распределения случайных величин
|
2 |
5 |
6 |
0 |
0,05 |
0,2 |
0,15 |
1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
3 |
0,15 |
0,05 |
0,2 |
Случайная величина зависима от случайной величины. Вычислить.
Найдем закон распределения случайной величины :
,
0 |
1 |
3 | |
0,4 |
0,2 |
0,4 |
Найдем закон распределения случайной величины :
2 |
5 |
6 | |
0,3 |
0,3 |
0,4 |
Определим среднее значение случайной величины Разброс значений случайной величиныотносительноизмеряется дисперсией.
Определим условное распределение при условии
2 |
5 |
6 | |
2 |
5 |
6 | |
Найдем условное математическое ожидание и условную дисперсию при условии
Рассмотрим условие
2 |
5 |
6 | |
Рассмотрим условие
2 |
5 |
6 | |
Запишем закон распределения условного математического ожидания :
5 | |||
0,4 |
0,2 |
0,4 |
Можно провести проверку вычисления значений случайной величины
тогда 4,5=4,5 верно.
Найдем дисперсию случайной величины
Нашли величину показывающую разброс значений случайной величины, связанной с зависимостью от Х.
Запишем закон распределения условной дисперсии
0,4 |
0,2 |
0,4 |
Найдем математическое ожидание условной дисперсии:
Нашли показатель разброса значений связанный с влиянием остаточных факторов:
Определим генеральный коэффициент детерминации:
Генеральный коэффициент детерминации ближе к нулю, чем к единице. Поэтому корреляционная зависимость отмала: условные математические ожиданиямало изменяются с изменением.