- •Часть II Математическая статистика введение
- •§ 1. Задачи статистики. Понятие выборки
- •§ 2. Первичная обработка данных. Способы задания выборки. Эмпирический закон распределения
- •0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1.
- •§ 3. Точечные оценки
- •3.1Определение оценки и ее качество
- •3.2 Оценки моментов
- •3.3 Оценка функции распределения (эмпирическая функция распределения)
- •3.4 Оценка плотности распределения (гистограмма)
- •§ 4. Точечные оценки параметров распределения
- •4.1 Метод моментов
- •4.2 Метод максимального (наибольшего) правдоподобия
- •§ 5. Понятие интервальной оценки
- •5.1 Основные понятия
- •5.2 Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •5.2.1Интервальные оценки для математического ожидания при известной дисперсии
- •5.2.2 Интервальные оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии
- •5.2.3 Интервальные оценки дисперсии (среднеквадратического отклонения) при известном математическом ожидании
- •5.2.4 Интервальные оценки дисперсии (среднеквдратического отклонения) при неизвестном математическом ожидании
- •§ 6. Проверка статистических гипотез
- •6.1 Основные понятия
- •6.2 Гипотезы о математическом ожидании нормально распределенной генеральной случайной величины
- •6.3 Критерии согласия для предполагаемого закона распределения
- •6.3.1 Критерий согласия (критерий Пирсона)
- •6.3.2 Критерий Колмогорова
6.3.2 Критерий Колмогорова
По выборке генеральной случайной величиныХ построена эмпирическая функция распределения
Рассматривается случай, когда гипотетическая функция полностью определена. С заданным уровнем значимостинужно проверить гипотезуто есть генеральная случайная величина имеет функцию распределения
Предполагается, что функция распределения непрерывна.Мера отклонения эмпирической функции распределения от гипотетической функции предложенная Колмогоровым, определяется следующим образом:
где рассматривается по всем возможным значениямх. Эмпирическая функция распределения строится по выборке объемап, поэтому величина зависит отп. Если рассматривать случайную выборку тослучайная величина.
Нас интересует предельное, при распределение статистикивычисленное в предположении, что гипотезаверна. Ответ на вопрос дает
Теорема Колмогорова. Какова бы ни была непрерывная функция распределения функция распределения статистикипристремится к функции
Функция распределения табулирована ввиду важности для практики. Для некоторыхр приведем таблицу значений соответствующих вероятности(таблица 6.3.2.1):
Таблица 6.3.2.1
р |
0,6 |
0,7 |
0,9 |
0,95 |
0,975 |
0,995 |
0,999 |
0,9995 |
0,89 |
0,97 |
1,22 |
1,36 |
1,48 |
1,73 |
1,95 |
2,03 |
Итак, с заданным уровнем значимости нужно проверить гипотезу
Критерий Колмогорова применяется только в том случае, когда гипотетическая функция распределения непрерывна и полностью определена (все параметры указаны).
Этапы проверки гипотезы:
1 этап. По выборке находится эмпирическая функция распределения.
2 этап. Статистика является критерием. Вычисляется наблюдаемое значение критерия:
3 этап. При помощи таблицы 6.3.2.1 по определяется критическое значение(значениеназывается доверительной вероятностью). Критической областью является множество
4 этап. Гипотеза согласуется с выборочными наблюдениямис заданным уровнем значимостиесли
Гипотеза о согласии эмпирических данных с функцией распределенияотвергается с уровнем значимостиесли
Пример 1. Датчик случайных чисел выдает независимые значения случайной величины. Получены следующие 20 значений: 0,100; 0,253; 0,520; 0,863; 0,354; 0,809; 0,911; 0,292; 0,453; 0,204; 0,648; 0,429; 0,805; 0,372; 0,610; 0,008; 0,166; 0,422; 0,531; 0,509. С помощью критерия Колмогорова с уровнем значимости 0,1 проверить гипотезу о том, что данная выборка извлечена из генеральной совокупности с равномерным распределением на
Запишем вариационный ряд. Для каждого выборочного значения укажем его номер в вариационном ряду:
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0,08 |
0,10 |
0,166 |
0,204 |
0,253 |
0,292 |
0,354 |
0,372 |
0,422 |
0,429 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
0,453 |
0,509 |
0,520 |
0,531 |
0,610 |
0,648 |
0,805 |
0,809 |
0,863 |
0,911 |
Все выборочные значения разные. Объем выборки Находим эмпирическую функцию распределения:
Функция распределения равномерного закона с параметрами иявляется теоретической (гипотетической):
Укажем значения эмпирической и гипотетической функций распределения в точках
0,08 |
0,10 |
0,166 |
0,204 |
0,253 |
0,292 |
0,354 |
0,372 |
0,422 |
0,429 | |
0 |
0,05 |
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,35 |
0,40 |
0,45 | |
0,08 |
0,10 |
0,166 |
0,204 |
0,253 |
0,292 |
0,354 |
0,372 |
0,422 |
0,429 | |
0,08 |
0,05 |
0,066 |
0,054 |
0,053 |
0,042 |
0,054 |
0,022 |
0,022 |
0,021 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,453 |
0,509 |
0,520 |
0,531 |
0,610 |
0,648 |
0,805 |
0,809 |
0,863 |
0,911 | |
0,50 |
0,55 |
0,60 |
0,65 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
0,85 |
0,90 |
0,95 | |
0,453 |
0,509 |
0,520 |
0,531 |
0,610 |
0,648 |
0,805 |
0,809 |
0,863 |
0,911 | |
0,053 |
0,041 |
0,080 |
0,119 |
0,090 |
0,102 |
0,005 |
0,041 |
0,037 |
0,039 |
Находим наблюдаемое значение критерия К:
По таблице 6.3.2.1 при находим критическую точку
Наблюдаемое значение критерия не превосходит критического значенияПоэтому гипотезао согласии экспериментальных данных с функцией распределения равномерного закона с параметрамипринимается.