- •Часть II Математическая статистика введение
- •§ 1. Задачи статистики. Понятие выборки
- •§ 2. Первичная обработка данных. Способы задания выборки. Эмпирический закон распределения
- •0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1.
- •§ 3. Точечные оценки
- •3.1Определение оценки и ее качество
- •3.2 Оценки моментов
- •3.3 Оценка функции распределения (эмпирическая функция распределения)
- •3.4 Оценка плотности распределения (гистограмма)
- •§ 4. Точечные оценки параметров распределения
- •4.1 Метод моментов
- •4.2 Метод максимального (наибольшего) правдоподобия
- •§ 5. Понятие интервальной оценки
- •5.1 Основные понятия
- •5.2 Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •5.2.1Интервальные оценки для математического ожидания при известной дисперсии
- •5.2.2 Интервальные оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии
- •5.2.3 Интервальные оценки дисперсии (среднеквадратического отклонения) при известном математическом ожидании
- •5.2.4 Интервальные оценки дисперсии (среднеквдратического отклонения) при неизвестном математическом ожидании
- •§ 6. Проверка статистических гипотез
- •6.1 Основные понятия
- •6.2 Гипотезы о математическом ожидании нормально распределенной генеральной случайной величины
- •6.3 Критерии согласия для предполагаемого закона распределения
- •6.3.1 Критерий согласия (критерий Пирсона)
- •6.3.2 Критерий Колмогорова
6.2 Гипотезы о математическом ожидании нормально распределенной генеральной случайной величины
Известна выборка нормально распределенной случайной величины Х. Выдвигается основная гипотеза о значении математического ожидания:
Дисперсия случайной величины Х может быть известна или неизвестна.
1 случай. Дисперсия случайной величины Х равна
В качестве критерия К выбираем статистику она распределена по стандартному нормальному закону. Очень часто стандартно нормально распределенную случайную величину обозначают буквой Z. Итак,
является критерием.
Критическая область строится в зависимости от заданного уровня значимости и вида альтернативной гипотезы
Рассматривается три вида альтернативной гипотезы:
то есть
Критические точки находятся по таблице 1 значений функции Лапласа. Введем обозначение двух решений:
При альтернативной гипотезе критической областью является множество
При альтернативной гипотезе критической областью является
При альтернативной гипотезе критической областью является
Сведем все рассуждения в таблицу 6.2.1.
Дана выборка случайной величины, нормально распределенной с известной дисперсией Проверяется гипотеза при заданном уровне значимости
Таблица 6.2.1
Критерий |
Нахождение критических точек |
Критическая область | ||
2 случай. Дисперсия генеральной случайной величины Х неизвестна.
Несмещенной оценкой среднеквадратического отклонения является:
Статистика выбирается в роли критерия, она имеет распределение Стьюдента с степенью свободы:
Критическая область строится в зависимости от заданного уровня значимости и вида альтернативной гипотезы
Для нахождения критических точек используется таблица 2. Введем два обозначения критических точек
При известной дисперсии рассматриваются различные альтернативные гипотезы В таблице 6.2.2 по содержанию гипотезы будет указан вид критической области.
Дана выборка нормально распределенной генеральной случайной величины. Проверяется гипотеза при заданном уровне значимости
Таблица 6.2.2
Критерий |
Нахождение критических точек |
Критическая область | ||
Пример 1. Дана выборка генеральной случайной величины с известным средним квадратичным отклонением Объем выборки По данным выборки найдена оценка математического ожидания С заданным уровнем значимости проверить гипотезу при альтернативной гипотезе
Параметр известен, поэтому используем таблицу 6.2.1. Найдем значение критерия по данным выборки:
Определим критические точки:
Множество является критической областью
Наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область:
Тогда нулевая гипотеза принимается.
Пример 2. Решим пример 1 при конкурирующей гипотезе
При изменении альтернативной гипотезы изменится критическая область. Найдем критическую точку:
Множество является критическим.
Наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область:
Поэтому нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе принимаем с уровнем значимости
Пример 3. Дана выборка нормально распределенной случайной величины:
-
3
5
7
9
11
5
25
40
24
6
С уровнем значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе
Объем выборки
Найдем оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения:
Среднеквадратическое отклонение неизвестно. Используем таблицу 6.2.2: найдем наблюдаемое значение критерия:
Определим критическую точку:
При и по таблице 2 находим в таблице 2 нет, берем близкое
Критическая точка критическая область Наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область:
.
Гипотезу при альтернативной гипотезе отвергаем с уровнем значимости