Вариант 9

Небольшая фирма выпускает два вида автомобильных деталей (А и В). Для этого она закупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверловке и шлифовке. Данные, характеризующие производительность станочного парка фирмы, приведены в табл.

Станки Деталь А, шт./ч Деталь В, шт./ч

Токарный 25 40

Сверильный 28 35

Шлифовальный 35 25

Каждая отливка, из которой изготовляют деталь А, стоит $2.Стоимость отливки для детали В -$3. Продажная цена деталей равна, соответственно, 5 и 6 долларов. Стоимость часа станочного времени составляет по трем типам используемых станков 20, 14 и 17,5 долларов соответственно. Предполагая, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей А и В, нужно найти план выпуска продукции, максимизирующий прибыль.

ВАРИАНТ 10

Бролейное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт. Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимого веса кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничим наше рассмотрение только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. В табл. приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Ингредиент	Содержание питательных веществ, фунт/фунт ингредиент			Стоимость $/фунт 0,04 0,15 0,4
Известняк Зерно Соевые бобы	Кальций	Белок	Клетчатка
	0,38 0,001 0,002	- 0,09 0,5	- 0,02 0,08

Смесь должна содержать:

• Не менее 0,8%, но и не более 1,2% кальция

• Не менее 22% белка

• Не более 5% клетчатки

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Лабораторная работа № 3 Выбор поставщиков, план перевозок, транспортная задача

Цель работы: научиться составлять наилучший (оптимальный) план перевозок от по­ставщиков к потребителям с учетом ограниченных ресурсов поставщи­ков и известной потребности потребителей; освоить методику и технологию оптимизации планов в Excel с помощью средства Поиск решения.

Теоретические сведения

Выделение проблемной системы

В проблемную систему включаем следующие объекты и показатели: перечень потребителей и объемы их потребностей, перечень возможных поставщиков и их возможности по объемам поставок, затраты на поставку единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю, критерий – общие плановые затраты на доставку всех грузов от всех поставщиков ко всем потребителям.

Постановка задачи

Требуется минимизировать затраты на перевозку товаров от предприятий-производителей на торговые склады. При этом необходимо учесть возможности поставок каждого из производителей при максимальном удовлетворении запросов потребителей. В этой модели представлена задача доставки товаров с трех заводов на 5 региональных складов. Товары могут доставляться с любого завода на любой склад, однако очевидно, что стоимость доставки на большее расстояние будет большей.

Необходимо определить объемы перевозок между каждым заводом и складом в соответствии с потребностями складов и производственными мощностями заводов, при которых транспортные расходы минимальны.

Лабораторная модель. Табличная модель

Обычно план перевозок составляется в виде таблицы. Вначале структу­ра документа вчерне составляется на бумаге или сразу в виде электронной таблицы. Пример приведен на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Выбор поставщиков, план перевозок, транспортная задача

В верхней строке электронной таблицы Excel даны имена колонок А, В, С... В первой колонке - номера строк. В колонке А - имена заводов-поставщиков. В строке 7 - имена потребителей.

Искомые показатели окружены сплошной жирной рамкой. Общие пла­новые затраты на перевозку в ячейке В20 надо минимизировать. Искомая плановая матрица объемов перевозки грузов от каждого поставщика к каж­дому потребителю расположена в диапазоне C8:G10.

В диапазоне В8:В10 вычисляются планы поставок от каждого завода всем потребителям как суммы по строкам. Плановик во время расчетов наблюдает, чтобы эти суммы не превысили мощностей заводов-поставщиков. И строке 12 вычисляются планы поставок каждому потребителю от всех заводов как суммы по столбцам. Плановик наблюдает, чтобы эти суммы были равны или не меньше заказов потребителей.

В строках 13:18 представлены исходные данные для расчетов. Они ок­ружены пунктирными рамками. В диапазон В16:В18 вводятся мощности заводов-поставщиков. В матрицу C16:G18 надо ввести стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю. В строку 14 надо ввести плановые потребности складов.

В строке 20 вычисляются стоимость перевозок для каждого склада и общие затраты по транспортировке.

Математическая модель

Введем обозначения:

n — количество поставщиков;

m - количество потребителей;

і - номер строки, поставщика, 1..n;

j - номер столбца, потребителя, 1 ..m;

Xij - искомое плановое количество перевозки от і-го поставщика к j-му потребителю;

Si - план поставок от і-го поставщика всем потребителям, сумма по строке;

;

Cj - план поставок j-му потребителю от всех поставщиков, сумма по столбцу

;

Pij - цена (price) франко-склад единицы груза от і-го поставщика к j-му потребителю;

Ві - ограниченная (boundary = граница) мощность і-го поставщика;

Dj - ограниченный спрос (demand) j-ro потребителя.

В общем виде наша модель экономико-математической постановки за­дачи будет выглядеть следующим образом: минимизировать затраты на пе­ревозку грузов (целевая функция)

при ограничениях Si <= Bi, Cj => Dj и неотрицательных объемах перевозок Xj >= 0 .

Для решения подобных задач математики разработали варианты сим­плекс-метода, метод потенциалов, венгерский метод и др.

Формулы табличной модели

После составления плановой таблицы необходимо связать показатели формулами для вычислений. Представление формул и чисел исходных дан­ных дано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Формулы табличной модели

Мы суммируем все поставки от каждого завода в диапазоне В8:В10, чтобы проконтролировать, что они не превысят мощность заводов в диапа­зоне В16:В18. Также суммируем объемы поставок потребителям от всех заводов в строке 12, чтобы проконтролировать, что они не меньше заказов по­требителей в строке 14.

В строке 20 мы умножаем матрицу плана объемов перевозок на матрицу стоимости перевозок и суммируем затраты в целевой ячейке В20.

Компьютерный поиск оптимального плана

Вызвать команду меню Сервис > Поиск решения. Появляется диалоговое окно оптимизатора (рис. 3.3).

Математическая постановка задачи для оптимизатора)

В диалоговое окно Поиск решения, в поле целевой ячейки, вводим ее адрес В20. В поле Изменяя ячейки вводим адреса матрицы искомого плана перевозок C8:G10. В поле Ограничения вводим 3 строки неравенств значе­ний диапазонов: поставки от заводов не должны превышать мощности заво­дов, поставки потребителям не должны быть меньше потребностей, значе­ния плана не могут быть отрицательными.

Рис. 3.3. Диалоговое окно Поиск решения с моделью транспортной задачи

Свод параметров модели дан в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Параметр задачи	Ячейки	Семантика
Результат	В20	Цель - уменьшение всех транспортных расходов
Изменяемые данные	C8:G10	Объемы перевозок от каждого из заводов к каждому складу
Ограничения	В8:В10<=В16:В18	Количество перевезенных грузов не может превышать произ­водственных возможностей заводов
	C12:G12>=C14:G14	Количество доставляемых грузов не должно быть меньше по­требностей складов
	C8:G10>=0	Число перевозок не может быть отрицательным

После настройки модели и установки параметров алгоритма нажимаем кнопку Выполнить окна Поиск решения. Через секунду оптимальное реше­ние готово.

Анализ результатов и решения менеджера

На рис. 3.1 дано оптимальное решение, найденное программой Поиск решения. Получен план перевозок с наименьшими затратами. Удовлетворе­ны все ограничения.

По Уралу и Украине использованы мощности заводов полностью, по Белоруссии это не так. При долгосрочных связях плановик, менеджер могут предложить на будущее увеличить мощности заводов на Урале и Украине и уменьшить их в Белорусии. Затраты на транспортировку уменьшатся.