Вариант 9

	Стоимость перевозки единицы продукции				Объемы производства
	7	9	1	5	20
	2	7	5	6	30
	3	5	10	8	40
	3	7	4	5	30
Объемы потребления	40	30	30	42

ВАРИАНТ 10

	Стоимость перевозки единицы продукции				Объемы производства
	5	9	3	10	10
	3	10	5	9	30
	7	2	3	8	20
	8	5	11	2	32
	5	9	10	5	20
Объемы потребления	50	10	30	10

Лабораторная работа № 4 Планирование численности персонала

Цель работы: научиться оптимально планировать постоянные штатные бригады для обслуживания неравномерного известного календарного спроса, обеспечивая каждому работнику два смежных выходных дня и минимизи­руя численность всего персонала и затраты на заработную плату; освоить методику и технологию оптимизации планов в Excel с помо­щью программы Поиск решения (Solver).

Теоретические сведения

Лабораторная модель

В проблемную систему включаем следующие объекты и показатели:

• персонал;

• бригады, включающие персонал;

• спрос на услуги или товары или конкретное количество сотрудников, необходимое для удовлетворения спроса;

• ограничения по условиям работы в виде потребности в двух последова­тельных выходных днях;

• цель менеджмента - выполнение работ при минимальных расходах на заработную плату персонала.

Описательная модель

Зарплата всех сотрудников принята одинаковой. Необходимо опреде­лить требуемое количество постоянных работников в каждой бригаде для удовлетворения спроса на работы при минимальных расходах на зарплату и минимальном количестве работников, если зарплата у всех одинакова.

Табличная модель

Обычно план численности персонала разрабатывается в виде таблицы. В начале структура документа вчерне составляется на бумаге или сразу в виде электронной таблицы. Пример приведен в рис. 4.1.

Рис. 4.1.

Исходные данные для расчетов в таблице окружены пунктирной рамкой. Искомые показатели окружены сплошной жирной рамкой. В графе А проставлены присвоенные бригадам номера. Для математической постановки задачи номер бригады задается индексной переменной i=1..n, где n- количество бригад.

В графе В названы смежные выходные дни бригад. В графу D вводятся вручную или компьютерной программой искомые планируемые количества человек в каждой бригаде Хі.

В ячейке D15 отображается количество работников во всех бригадах.

В ячейке D19 задана дневная зарплата работника. Она у всех одинакова.

В ячейке D20 вычисляется дневной фонд зарплаты всех работников. Это критерий качества плана (целевая функция), он подлежит минимизации. При равенстве зарплаты работников также будет минимизироваться и их численность.

В диапазон F7:L13 как исходные данные вводится календарь рабочих и выходных дней бригад. Это матрица Cij, где j - номер дня недели. Нуль элемента матрицы означает выходной день, единица - рабочий.

В диапазоне F15:L15 вычисляется общее количество работников, заня­тых в конкретный день недели.

В диапазон F17:L17 вводится потребность в общем количестве работников в конкретный день недели. Это известный спрогнозированный спрос, заданный в переменной Bj.

Математическая модель

Введем обозначения:

п - количество бригад;

і - номер бригады;

Хі - искомое плановое количество работников в і-той бригаде;

m - количество дней в неделе;

j - порядковый номер дня недели: 1 = воскресенье, 2 = вторник ...

Cij - признак рабочего или выходного дня, календарная матрица;

Cij = 1 — рабочий день;

Cij = 0 — выходной день;

Bj - общая потребность в персонале (все бригады) по дням недели для выполнения работ;

Sj - плановое количество персонала (все бригады) по дням недели для выполнения работ:

Р - дневная ставка зарплаты одного работника, одинакова для всех; W - дневной фонд зарплаты всего персонала.

Критерий, цель оптимизации плана - минимизация дневного фонда зарплаты постоянного персонала бригад (целевая функция):

при ограничениях Sj >= Bj .

Для решения подобных задач математики разработали варианты алгоритмов целочисленного программирования, один из них реализован в программе Поиск решения Excel.

Формулы табличной модели

После составления плановой таблицы необходимо связать причинно-следственные показатели формулами для вычислений. Представление формул и чисел исходных данных дано в табл. 4.2.

Рис. 4.2.

В ячейке D15 функцией CYMM(D7:D13) вычисляется количество ра­ботников во всех бригадах.

В ячейке D20 формулой D15*D19 вычисляется дневной фонд зарплаты всех работников. Это критерий качества плана (целевая функция), он под­лежит минимизации. При равенстве зарплаты работников также будет ми­нимизироваться и их численность.

В каждой ячейке диапазона F15:L15 вычисляется общее количество ра­ботников, занятых в конкретный день недели. Формулой для каждого дня недели задается скалярное произведение вектора количества работников в бригадах Xi (колонка D) на вектор признака работы в конкретный день не­дели Сі (колонки F:L). В таблице приведены сокращенные формулы только для воскресенья и субботы. Пример суммы произведений для воскресенья дан в ячейке F15 как =$D$7*F7+$D$8*F8+$D$9*F9+...

Управление экспериментами

Осуществляется с помощью программы оптимизации Поиск решения. Изменяемыми данными являются количество работников в бригадах. Для расширения экспериментов, где есть над чем подумать менеджеру по персоналу, можно менять дневную зарплату, динамику прогноза потребности в персонале, вводить в качестве ограничений дополнительные условия в рабочий календарь и др.

Компьютерный поиск оптимального плана

Вызвать команду меню Сервис > Поиск решения. Появляется диалоговое окно оптимизатора (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Диалоговое окно Поиск решения с координатно-математической моделью задачи планирования персонала

Настройка модели (математическая постановка задачи для оптимизатора)

В диалоговое окно Поиск решения, в поле целевой ячейки, вводим адрес D20 Дневного фонда зарплаты. В поле Изменяя ячейки вводим адреса диапазона искомого плана количества работников в бригадах D7:D13. В поле Ограничения вводим 3 строки условий, ограничивающих область допустимых решений нашей задачи.

Мы гуманны и не будем рвать людей на части. Работники в бригадах могут быть не совсем здоровы, но обязательно целы. Это задается первым ограничивающим равенством D7:D13 = целое и является сигналом комплексу программ Поиск решения для применения алгоритма целочисленного программирования.

Второе ограничение выполняет хороший кадровый менеджер - он не принимает на работу плохих работников, а только хороших. Количество людей в бригадах не может быть отрицательным числом: D7:D13>=0.

Третье неравенство гарантирует 100%-ное обслуживание. Плановое количество работников не должно быть меньше потребности в работниках: F15:L15>=F17:L17.

Свод параметров модели дан в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Параметр задачи	Ячейки	Пояснения
Результат	D20	Цель - минимизация расходов на оплату труда
Изменяемые данные	D7:D13	Число работников в группе
Ограничения	D7:D13 >= 0	Число работников в группе не может быть отрицатель­ным
	D7:D13=цeлое	Число работников должно быть целым
	F15:L15>=F17:L17	Число ежедневно занятых работников не должно быть меньше ежедневной потребности
Вариант графика	Строки 7-13	1 означает, что данная группа в этот день работает

После настройки модели и установки параметров алгоритма нажимаем кнопку Выполнить окна Поиск решения. Через секунду оптимальное реше­ние готово.

В рис. 4.1 дано оптимальное решение, найденное программой. Получен план комплектования бригад с наименьшим фондом зарплаты. Удовлетворены все ограничения. Выбор линейной модели в диалоговом окне параметров ускоряет получение результата.

Далее следует провести следующую серию экспериментов. Несколько раз выполнить оптимизацию, каждый раз сохраняя найденное решение. Общее минимальное количество работников в штате будет оста­ваться неизменным, но план по составу бригад почти в каждом эксперименте будет различен. Это, вероятно, связано со спецификой ггрн.ости решения целочисленных задач, регулируемого параметром Допустимое отклонение, минимальное значение которого ограничено в программе Поиск решения одним процентом.

Расширить права, увеличив ограничения

На рис. 4.1 оптимального состава бригад количество персонала в седьмой бригаде равно нулю, т. е. бригады с выходными по субботам и воскресеньям отсутствуют. Это не устраивает персонал. Люди желают хотя бы периодически иметь общегосударственные выходные дни в субботу и воскресенье. Чтобы удержать персонал, фирма вынуждена пойти навстречу работникам, возможно даже за счет увеличения фонда зарплаты.

Чтобы расширить права работников на выходные, менеджер персонала по согласованию с профсоюзом должен ввести в модель дополнительные ограничения. Они согласились, что достаточно иметь группу с субботне- воскресным выходным днем из четырех человек. В этом случае людей периодически будут переводить из других бригад в воскресную бригаду для общегосударственных выходных. Введем в программу дополнительные ограничения по расширению прав персонала.

Вызвать команду меню Сервис>Поиск решения. Появляется диалоговое окно оптимизатора (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Диалоговое окно Поиск решения с координатно-математической

моделью задачи планирования персонала с расширением прав

Нажмем кнопку Добавить ограничения и для седьмой бригады введем ограничение D13 >= 4, т. е. в субботне-воскресной бригаде по штату должно быть не менее четырех человек.

Нажимаем кнопку Выполнить окна Поиск решения. Через секунду оптимальное решение готово (табл. 4.4).

Плановое количество персонала выросло с 25 до 28 человек, дневной фонд зарплаты вырос 1 000 до 1 120 грн.

Рис. 4.6.