физика с примерами oc

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

7. Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии 100 км один от другого, курсирует катер, который, двигаясь по течению, проходит это расстояние за 4 часа, а против течения - за 10 ч. Каковы

скорость течения реки и скорость катера относительно воды ?

Дано:

Решение

S = 100 км

По

закону сложения

скоростей определим

скорость

t1 = 4 ч

катера относительно Земли по течению v1 vк

vр

t2 = 10 ч

и против течения v2 vк vр

vр - ?; vк - ?

S

S

Время

движения

катера расстояния

S по течению

t1

,

v1

vк vр

против течения t2

S

S

v2

vк

vр

Решим систему уравнений относительно неизвестных vр и vк

S vк vр t1

		vк	vр	S
				t2
vк	S(t1 t2 )	17,5 (км/ч) , vр				S	vк	7,5 (км/ч)
	2t1t2					t1

8. Из города выехали с одинаковыми скоростями два автомобиля, второй через 12 мин после первого. Они поочередно, с интервалом в 14 мин, обогнали одного и того же велосипедиста. Во сколько раз скорость автомобилей больше скорости велосипедиста?

Дано:

Решение

∆t = 12 мин

Уравнение движения 1-го автомобиля: x1

v1t .

∆t1= 14 мин

Уравнение движения 2-го автомобиля: x2

v2 (t t) .

v1= v2=v

Расстояние, которое преодолел велосипедист за время ∆t1:

v/ vв –?

x2

x1

vв

t1

Подставляя x1 в момент встречи t1

и x2, в момент встречи t1+ t1,

находим

v

t

14

7 .

vв

t1

t

14

12

11

Ускорение

Средним

ускорением

acp

называется

физическая

величина, равная

отношению

изменения

скорости

v

v2

v1

материальной

точки

к

длительности

промежутка

времени

t

t2

t1 ,

в течение

которого

это

изменение происходит.

Направления

v1

v

векторов acp

и

v

v2

v1

aср

acp

aср

v

совпадают

t

t

v2

Ускорением (мгновенным ускорением)

a материальной точки в момент

времени t

называется физическая величина,

равная пределу,

к которому

стремится

среднее

ускорение

за

промежуток

времени

t

при

его

неограниченном уменьшении.

Ускорение равно пределу отношения

элементарного

изменения скорости

a

lim acp

lim

v

v

к

элементарному

промежутку

t

t 0

t 0

времени

t .

a

a

an

a

v

v

2

2

2

a

an

a

an

R

Тангенциальным

(касательным) ускорением a

an

a

называется составляющая вектора

R

ускорения

вдоль

касательной

к

траектории в данной точке.

Тангенциальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по

модулю.

Нормальным

ускорением

an

называется

составляющая

вектора

ускорения, направленная вдоль нормали к траектории.

Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению при криволинейном движении.

12

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

9. Какова величина ускорения автомобиля при торможении, если при скорости 108 км/ч время полного торможения 15 с?

Дано:	Решение
v1= 108 км/ч = 30 м/с	По формуле для среднего ускорения
v2= 0					aср		v2 v1
∆t = 15 с							t
a – ?
найдем
	a a	v2	v1	=	0 30	= 2 (м/с2).
	ср	t	15

10. За какое время автомобиль, двигаясь прямолинейно с ускорением 0,2 м/с2, увеличивает свою скорость с 54 км/ч до 72 км/ч?

Дано:	Решение
a = 0,2 м/с2	Используем формулу для определения среднего
v1= 54 км/ч = 15 м/с	ускорения
v2= 72 км/ч = 20 м/с						aср				v2 v1
∆t – ?
										t
Считая движение прямолинейным, запишем формулу в скалярной форме
		a	a		v2	v1		,
		ср				t
откуда
	t	v2 v1		20		15			25 (с) .
		a		0, 2

11. Велосипедист движется под уклон с ускорением 0,1 м/с2. Какая скорость будет через 30 с, если его начальная скорость 5 м/с?

Дано:

	a = 0,2 м/с2	Решение
	∆t = 30 с	По формуле для среднего ускорения
	v1= 5 м/с	aср	a	v2	v1
	v2 –?
					t
	определим
		v2 v1	a	t
		v2 0,1 30	5	8	(м/с)

13

Равномерное прямолинейное движение

Движение тела, при котором скорость остается постоянной по модулю и

направлению называется равномерным прямолинейным движением.

Уравнение движения:

x

x2

x1

x

f (t)

tg

vx

t

t2

t1

Уравнение

для

равномерного

x

прямолинейного движения:

x

x0

vxt

x2

График

движения

–

прямая

x1

x0

линия (т.е. координата линейно

зависит от времени).

0

t1

t2

t

Путь S , пройденный материальной точкой в

одном

направлении

при

равномерном прямолинейном движении за промежуток времени

t, равен

модулю вектора перемещения точки за тот же промежуток времени

r

S

v

v

S

v1 t

-v2

S

v2

t

t

Путь S, пройденный материальной точкой при равномерном

прямолинейном движении за промежуток времени

t,

графически

определяется площадью, ограниченной графиком зависимости скорости от

времени и перпендикулярами к оси времени.

Равнопеременное прямолинейное движение – движение, при котором

ускорение остается постоянными по модулю и по направлению a		const .
При этом среднее ускорение acp равно мгновенному ускорению a		acp a .
Направлено ускорение a	вдоль траектории точки. Нормальное ускорение
при этом отсутствует an	0 .

14

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

12. Вдоль оси ОХ движутся два тела, координаты которых изменяются согласно формулам: x1 = 4 -- 2t и х2 = 2 + 2t. В какой момент времени тела встретятся? Найдите координату точки встречи.

Дано:	Решение
x1 = 4 – 2t	Сравнивая заданные уравнения движения тел с
х2 = 2 + 2t	уравнением для равномерного прямолинейного
tв – ? хв – ?	движения
	x x0 vxt ,

видим, что для 1-го тела x0 = 4м; νх = - 2м/с < 0 – тело движется против оси

ОХ.

Для 2-го тела x0 = 2; νх = 2м/с > 0 – тело движется по оси ОХ. Решая совместно уравнения

x1 4 - 2tв x2 2 2tв

определим координату и время встречи хв = 3м; tв =0,5с.

13. Запишите уравнения зависимости x(t) для движений, графики которых даны на рисунке.

Решение
x, м
3			III				II
2
1
0
			1 2 3 4 5 t, с
-1
-2
					I

І. Тело находится неподвижно в точке с координатой х = - 2 м; уравнение движения: х = -2

ІІ. Тело движется с постоянной скоростью вдоль оси ОХ с начальной

координатой х0 = 0; vх	х		2 м			0 , уравнение движения x	2	t
							3
	t		3 с

ІІІ. Тело движется с постоянной скоростью против оси ОХ с начальной

координатой х0= 3 м, х	х		3 м			0 ; уравнение движения x 3	3	t
	t		2 с				2

15

Равноускоренное прямолинейное движение

Если направление ускорения a совпадает с направлением скорости V точки, движение называется равноускоренным.

Если направления векторов a и v

противоположны, движение называется

равнозамедленным.

a

acp

v

v2 v1

v

t

t

a

V

V0

tg

v0

t

t

Скорость в любой момент времени

v

v0

at ,

где v0 - начальная скорость точки (скорость точки при t

0 ).

Уравнение движения для

Путь при равнопеременном

равнопеременного прямолинейного

движении определяется в виде

движения:

at

2

2

S v t

.

axt

2

0

x

x0

v0 xt

2

Средняя (путевая) скорость при равнопеременном движении.

Средняя скорость при равнопеременном движении равна полусумме начальной и конечной скоростей:

vcp	v0		v	.
		2

Связь между скоростью и величиной пути.

		v2	v2
	S		0	,
			2a
Откуда конечная скорость
v		v2	2aS
		0

16

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

14. Автомобиль, трогаясь с места, движется равноускоренно с ускорением 2 м/с2. Какой путь он пройдет за 3-ю и за п-ю секунды?

	Дано:	Решение
	v0 = 0	Путь при равноускоренном движении
	а = 2 м/с2	S v0t		at2
	∆t = 1с
			2
	S(3) – ?
		Учитывая, что v0 = 0, имеем
		S	at2
			2

Путь тела за 3-ю секунду равен разности путей за три секунды S(3) и пути за две секунды S(2)

	S 3 S(3) S(2)	9a		4a		5	a	5	2 5(м)
		2	2		2			2

Аналогично за любую п-ю секунду

		n	2		n	1	2		n	2		n	2		a		1
S n	S(n) S(n 1)			a				a			a			a na		n		a
		2				2			2			2			2		2

15. Начав торможение с ускорением 0,5 м/с2, поезд прошел до остановки путь 225 м. Какова была его скорость перед началом торможения и на половине пути?

Дано:	Решение
а = 0,5 м/с2	Воспользуемся формулой, которая связывает
S = 225 м	путь, ускорение и скорость тела в начальный и
S1 = 1/2S	конечный момент пути для случая торможения
v2 = 0		v2	v2	2aS / 2
v1 – ? v0 – ?	2		1	,
		v2	v2
				2aS
	2		0
	откуда найдем скорость на половине пути

		v		v2	2aS / 2,
	1		2
скорость в начале пути
	v			v2	2aS .
	0		2
Численно
v	02 2		0,5		225 / 2			10,6 м/с ,
1
v	02		2 0,5 225					15 м/с .
0

17

Графики для равнопеременного движения

Равноускоренное

( a

0)

Равнозамедленное

( a

0 )

x

x

at

2

x0

at

2

x0

x x0

v0t

x x0

v0t

2

2

0

t

0

t

v

v

v v0

at

vV

Vv00

at

v0

v0

0

0

t

t

v0

a

a

0

0

t

t

a

const 0

a const

0

S

S

S

v t

at2

S

v0t

at2

0

2

2

0

t

0

t

18

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

16. По данному графику зависимости проекции скорости от времени построить графики для координаты и проекции ускорения.

vx,(м/с)													x,(м)												a,(м/с2)
4		I											22												2				II
3																					III				1
									III																						III
2													12												0
1					II										I				II						-1		1 2 3 4 5 t,с
																									-2
0													0
		1 2 3 4 5 t,с														1 2 3 4 5 t,с											I

Решение

I. При 0<t<2 движение равнозамедленное с начальной скоростью v0 = 4 м/с и ускорением

a	v		0	4	2	м	,
	t		2			с2
x 4t t2			4 2 22			4 (м)

II. При 2<t<4 – движение равноускоренное с начальной скоростью v0 = 0 м/с и x0 = 4м,

a		v	2		0	1		м
										.
		t			2			с2
Из общего выражения
	x		x0		v0t		at2
						2

получим

x 4 0,5t2 4 0,5 42 12(м)

III.При t > 4 с движение равномерное со скоростью v = 12 м/с и a = 0,

x12 2t 12 2 5 22 (м)

19

Свободное падение тел

Свободное падение тел – движение, которое совершало бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Ускорение свободного падения тел направлено вертикально вниз и по абсолютному значению для средних широт равно g=9,81 м/с2.

y

y0

Уравнение движения

v

y

y0

v0 yt

gt2

g

2

0

Зависимость скорости от времени

vy

v0 y gt

Время свободного падения v0 y

0

с высоты y0

H :

tпад

2H

g

Скорость тела в момент падения

2H

vк

g

2gH

g

Движение тела, брошенного вертикально вверх.

y

Уравнение движения

ymax

v0

y y0

v0 yt

gt2

2

y0

Зависимость скорости от времени

g

0

vy

v0 y gt

Время подъема

до максимальной

Максимальная высота подъема

высоты равно времени спуска

ymax

v02y

tпод

v0

tсп

2g

g

20