физика с примерами oc

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

45. Найти положение центра масс планетной системы «ЗемляЛуна».

Дано:

Решение

m1 = MЗ = 5,98 1024 кг

Выберем за нуль отсчета по оси x центр Земли

m2 = MЛ = 7,35 1022 кг

и воспользуемся формулой

RЗЛ = 3,84 108 м

x

m1x1

m2 x2

, x

R .

xц – ?

ц

m1

m2

2

ЗЛ

Подставив численные данные, получим

x

5,98 1024

0

7,35 1022

3,84 10

8

4,66 106 м

5,98 1024

7,35 1022

ц

Так как радиус Земли RЗ = 6370 км, то центр масс планетной системы «Земля-Луна» находится внутри Земли на глубине 1710 км.

46. Рассчитать силы натяжения в симметричных растяжках, на которых подвешен светофор массой 20 кг. Угол между растяжками составляет 120º.

Дано:	Решение
m = 20 кг
= 120
			y
Fн1 – ?
Fн2 – ?
		Fн1		Fн2
				x
			mg

По условию статического равновесия сумма всех сил (силы тяжести и сил натяжения) равна нулю

m g F н1 F н2 0 .

Запишем это уравнение в проекциях на оси x и y

Fн1 sin				Fн2 sin					0
						2
2									.
Fн1 cos				Fн2 cos					mg 0
						2
2

Из первого уравнения имеем Fн1= Fн2= Fн, тогда из второго получим

Fн	mg	20 9,8				196
	2cos				2 cos 60
		2

51

Момент силы

	F2
			F2		Величина	M	называется
					вращающим	моментом		или
		d2			моментом силы относительно оси
	d1				вращения.
					d - плечо	силы,	кратчайшее
					расстояние от	оси	вращения	до
	M	F d			линии действия силы
	M	1 Н м
		Условие равновесия тела,
		имеющего закрепленную ось вращения
					Правило моментов
	N		Тело, способное вращаться вокруг закрепленной
	Mi 0		оси, находится в равновесии, если алгебраическая
	i 1		сумма моментов приложенных к нему сил
			относительной этой оси равна нулю.

При этом тело может двигаться равномерно прямолинейно или вращаться с постоянной угловой скоростью.

	A	X
	F2	F
		1
	C	B
F2	N	F1
	d2	d
		1

O

Момент силы считают положительным, если сила вращает тело по часовой стрелки, и отрицательным – если против часовой стрелке:

M1 F1d1 0

M 2 F2d2 0

Вращение тела вокруг фиксированной оси не вызывается силой, действующей вдоль отрезка, соединяющего точку приложения силы и ось.

52

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

47. Определить, какой максимальной массы груз может переносить подъемный кран и силу давления его на землю. Противовес массой M =10 т находится на стреле крана на расстоянии a =4 м от вертикальной стойки. Груз подвешен на расстоянии b =10 м от стойки. Массой крана можно пренебречь.

Дано:

M = 10 т = 104 кг a = 4 м

b = 10 м

m – ? P – ?

Решение
	y
Mg	a	b
		mg
		N
	O	P

Условием отсутствия вращательного движения крана является равенство нулю алгебраической суммы моментов сил относительно точки O :

Mga mgb 0 ,

откуда масса груза

m M	a	10	4		4	4 10	3	кг .
	b			10

Условие статического равновесия при поступательном движении

M g N mg 0

В проекции на ось y получаем

M g N mg 0 ,

откуда сила реакции опоры

NM m g

исила давления крана на землю по III закону Ньютона

P N

или

P N M m g 104 4 103 9,8 1,372 105 Н

53

				Сложение сил
	Сложение параллельных сил				Сложение антипараллельных сил
					F2
							d2	Fравн
		O
								O
	d1		d2
F	F			F2		d1
1	равн				F1			Fуравн
	Fравн	Fуравн	F1	F2	Fравн	Fуравн	F2	F1;
				F1	d2
				F2	d1
			Устойчивость равновесия тел

Устойчивое

Неустойчивое

Безразличное

N

N

N

N

N

F

mg

mg

mg

mg

mg

F

Равновесие

тела

в

Равновесие неустойчиво,

Равновесие называют

некотором

положении

если

при

малом

безразличным,

если

называется устойчивым,

отклонении

тела

от

при

любых

малых

если при любых малых

положения равновесия,

отклонениях тела

от

отклонениях

тела

от

возникают

силы

или

этого

положения,

не

этого

положения

моменты

сил,

возникает

сил

или

возникают

силы

или

стремящиеся

еще

моментов

сил,

моменты

сил,

больше

отклонить

тело

которые

стремятся

стремящиеся

возвратить

от

начального

изменить

положение

тело

в

исходное

положения.

тела.

положение.

Равновесие тела на опорах существует тогда, когда вертикаль, проведенная через центр тяжести, проходит внутри площади опоры тела (т.е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры, или внутри площадки, на которую опирается тело).

54

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

48. Однородная лестница прислонена к стене. При каком минимальном угле с поверхностью пола она начнет скользить?

Коэффициент трения покоя лестницы о пол		1 = 0,5, о стену 2 = 0,4.
Дано:	Решение
1=0,5			y
2=0,4		N2	Fтр2
– ?
			O2

l

N1 mg

	O1F	x
	тр1

Условие отсутствия поступательного движения

N1 F тр1 m g N2 Fтр2 0 ,

где

Fтр1 1N1

– сила трения лестницы о пол,

Fтр2 2 N 2

– сила трения лестницы о стену.

Условие отсутствия вращательного движения (равенство нулю алгебраической суммы моментов относительно точки O1)

mg	l	cos N	l sin	F	l cos 0 .
2		2		тр2

Запишем первое уравнение в проекциях на оси x и y Fтр1 N2 0 .

N1 m g Fтр2 0 .

Решая систему полученных уравнений, найдем

	tg	1		1 2	.
		2		1

Подставляя значения, получим

arctg	1		1	2	arctg	1		0,5		0,4	38 40 .
	2		1					2	0,5

55

	Простые механизмы
Простые механизмы позволяют, производя работу, получить выигрыш в
силе, то есть уменьшить приложенную силу P за счет увеличения
перемещения S(«золотое» правило механики).
Рычаги – твердые тела, которые вращаясь вокруг неподвижной оси, дают
выигрыш в силе.
Рычаг находится в равновесии, если плечи действующих на него сил
обратно пропорциональны значениям сил.
S1	S2			P	S1
P	F			F	S2
	Блоки
	Неподвижный	блок	представляет собой
	равноплечный рычаг		d1	d2 .
d1	d2	F	P
	Не дает выигрыша в силе, но позволяет
	изменить ее направление.

P F

Подвижный блок – рычаг, у которого d1 в

		d1	2 раза больше другого d2 .
				P		d1		P
							; F		.
		F
								2
				F		d2
			Дает выигрыш в силе в 2 раза.
	P
		d2

При использовании простых механизмов выигрыша в работе не получают в соответствии с законом сохранения энергии.

56

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

49. К стержню массой m = 1 кг подвешены два груза с массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг. Длина стержня l = 1 м. Где нужно подпереть стержень, чтобы он находился в равновесии?

Дано:	Решение
l = 1 м			A		O	C			B
m = 1 кг
m1 = 1 кг
						x
m2 = 2 кг
x – ?					mg
			m1g				m2 g

При данных значениях масс грузов подпереть стержень нужно в точке C, расположенной ближе к точке B приложения большей силы m2 g .

Условием равновесия системы является равенство нулю алгебраической суммы моментов сил, приложенных в точках A, O, и B

m1g AC mg OC m2 g BC 0 .

Ось вращения перпендикулярна плоскости листа и проходит через точку C, в которой расположен центр масс системы. Выражая плечи сил через длину стержня l и x, получим

	m1g		l	x mgx m2 g		l	x 0.
		2			2
	Знак минус перед	моментом силы			m2 g связан с договоренностью

считать моменты, вращающие стержень против часовой стрелки отрицательными.

Разделив последнее равенство на g, получим

m	l		m x m x m					l				m x 0 .
1 2			1				2 2						2
Находим
x			m2	m1		l			1			1	0,125 м .
		m1		m m 2	2			4			2

57

Тема 6. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебания – движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Виды колебаний: свободные и вынужденные.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени.

Период колебания T - наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За это время совершается одно полное колебание.

Частота периодических колебаний – число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени.

		N	;	1			1c 1 Гц (герц)
		t		T
Циклической (круговой)				частотой			периодических колебаний

называется число полных колебаний, которые совершаются за 2 единиц времени.

2	2		1	рад
	T			с

Свободные колебания

Свободные колебания – колебания, возникающие в системе (не подверженной действию переменных внешних сил), в результате какоголибо однократного начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.

Необходимые условия для возникновения свободных колебаний:

наличие энергии, избыточной по сравнению с энергией системы в положении устойчивого равновесия; наличие инертности;

работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии.

58

Гармонические колебания

Гармонические колебания – частный случай периодических колебаний.

В гармонических колебаниях колеблющаяся физическая величина x изменяется с течением времени по закону:

x Asin t

x Acos t

0

0 ,

где A - амплитуда колебания - наибольшее абсолютное значение колеблющейся физической величины x (максимальное смещение от положения равновесия);

t 0 - фаза колебания - величина, определяющая значение x в данный момент времени;

0 - начальная фаза, фаза в начальный момент времени t 0 .

x

A

Acos 0

t

T

При гармоническом колебании вида					A	x	0 T 4 T 2 3T 4 T
x	Asin		0t
скорость					-A		t
v	A	0 cos	0t
						v
ускорение
					A
a	A	2	0t	.		0
		0 sin

-A 0 a

A 02

-A	2	t
	0

59

Математический маятник

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (материальная точка – тело, размеры которого малы по сравнению с длиной нити).

Ускорение шарика прямо пропорционально смещению шарика из положения равновесия

a

2 x ,

0

где

g

- циклическая частота

0

l

Период колебаний

T 2

l

y

g

z

l – длина нити,

Fн

g – ускорение свободного

падения

x

0

Fупр

mg

Пружинный маятник

Ускорение шарика массой m на пружине жесткостью k прямо пропорционально смещению шарика из положения равновесия

				a	2 x ,
					0
	где	0	k	-	циклическая частота
			m
Период колебаний
T 2	m				F0
	k
					mg	F kx0
						x0
						mg

60