258

Приклад 3

За заданими координатами побудувати комплексне креслення точок: D, E, F.

Якщо дві точки лежать на одній лінії зв’язку, то такі точки називаються конкуруючими. Розв’язування вправи – графічне (див. рис. 1.8.5).

Приклад 4

За заданими координатами побудувати точки А, В, C, D – графічно

а

б

Рисунок 1.8.5

На рис. 1.8.5 а – точки А та В – фронтально-конкуруючі, бо їхні фронтальні проекції збігаються.

На рис. 1.8.5 б – точки С та D – горизонтально-конкуруючі, бо їхні горизонтальні проекції лежать на одній лінії зв’язку і збігаються.

Пояснення до розв’язання задач аркуша 4 РГР- 1 надані у графічному вигляді в прикладах (задачах) 1…4 рис. 1.16, варіанти завдань у таблиці 1.5.

31

1.8.2 Проеціювання прямої лінії

Пряма лінія в просторі може займати загальне і особисте положення. Пряма загального положення – така пряма, яка не паралельна і не пер-

пендикулярна ні до однієї площини проекцій. Координати її поточних точок змінні. Вона має три сліди. Кожна з проекцій прямої загального положення менше її натуральної величини.

Прямі особистого положення поділяються на прямі рівня і проеціюючі

прямі.

Пряма рівня – така пряма, яка паралельна хоча б одній площині проекцій або належить їй. Вона не має слідів на площині проекцій, до якої вона паралельна, і проеціюється на цю площину в натуральну величину.

Проеціююча пряма – така пряма, яка перпендикулярна до площини проекцій та її проекція на цій площині перетворюється в точку, а до інших площин проекцій вона паралельна, тому є натуральною величиною (НВ). Для задання відрізка прямої достатньо задати дві її точки ( рис. 1.8.6 а ).

1.Утворення комплексного креслення прямої аналогічно утворенню комплексного креслення точки. Для відрізку прямої лінії потрібно будувати за координатами вже дві точки, а потім - з'єднати їх між собою.

2.Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої і визначаються як точки прямої, одна з координат яких дорівнює нулю (рис.

1.8.6б ).

3.Натуральна величина відрізка прямої загального положення визначається величиною гіпотенузи прямокутного трикутника, побудованого на одній із проекцій, як на катеті. Другий катет трикутника дорівнює різниці відстаней кінців відрізка від тієї площини проекцій, на якій взято перший катет (рис. 1.8.6

в).

32

4.Кут між натуральною величиною відрізка прямої та її проекцією на горизонтальну площину є кутом нахилу прямої до площини П1, умовно позначається як α.

5.Кут між натуральною величиною відрізка прямої та її проекцією на фронтальну площину є кутом нахилу прямої до площини П2 , умовно позначається як .

6.Кут між натуральною величиною відрізка прямої та її проекцією на профільну площину є кутом нахилу прямої до площини П3, умовно позначається як γ.

7.Якщо пряма перпендикулярна до площини проекцій, то на цю площину вона проекціюється в точку.

8.Якщо відрізок прямої паралельний площині проекцій, то на цю площину він проеціюється в натуральну величину.

Приклад 5

Побудувати сліди відрізка прямої а ( рис. 1.8.6 б ).

Рисунок 1.8.6

33

Для визначення горизонтального сліду М прямої а спочатку визначимо точку перетину прямої з горизонтальною площиною проекцій. У точці M координата Z дорівнює нулю. Для визначення фронтального сліду N прямої а спочатку визначимо точку перетину з фронтальною площиною проекцій – це точка, в якій координата Y дорівнює нулю.

Приклад 6

Знайти натуральну величину (НВ) відрізка прямої АВ і кути нахилу до площини проекцій П1 і П2 (рис. 1.8.6 в).

Для визначення на кресленні довжини відрізка прямої лініїї з будь-якого кінця горизонтальної проекції цього відрізка, наприклад, з точки В1, проведемо пряму, перпендикулярну до цієї проекції, і на ній відкладемо відрізок В1В2, взятий з фронтальної проекції як різниця відстаней від проекцій В2 і А2 до осі Х. Відрізок А1 В0 дорівнюватиме відрізку АВ, а кут між А1 В0 і горизонтальною проекцією А1 В1 показуватиме нахил відрізка АВ до площини проекцій П1. Для визначення кута нахилу відрізка прямої АВ до площини проекцій П2 потрібно виконати подібні побудови на фронтальній проекції.

1.8.3Взаємне положення прямих

1.Прямі паралельні між собою, якщо паралельні їхні однойменні проекції

(рис. 1.8.7 а).

Уразі паралельності профільних прямих потрібно перевірити паралельність їх профільних проекцій на площині П3.

2.Прямі, що перетинаються – це прямі, в яких перетинаються їх проекції і точка перетину проекцій К лежить на одній лінії зв’язку (рис. 1.8.7 б).

Уразі перетину проекцій з профільною прямою необхідно проаналізувати її положення або перевірити на площині П3.

34

3. У мимобіжних прямих однойменні проекції також перетинаються, але точки перетину К, L і E, F не лежать на одній лінії зв'язку. Такі точки назива-

ються конкуруючими, тобто, К, L – горизонтально-конкуруючі та E, F –

фронтально-конкуруючі. За допомогою порівняння їх координат можна встановити видимість прямих: видима та пряма, в якої конкуруюча точка

має більшу відповідну координату (рис. 1.8.7 в).

Здається, що на епюрі (рис. 1.8.7 в) проекції А2В2 і C2D2 перетинаються на площині П2, а А1В1 і C1D1 на – П1. Насправді мимобіжні прямі не перетинаються, а мають дві проекції точок, що збігаються Е2 ≡ F2, K1 ≡ L1 і ті, що не збігаються E1 ≡ F1, K2 ≡ L2. За координатами точок, що не збігаються, визначають які з точок, що збігаються, розташовані одна під або над другою на П1, а які – одна перед або за другою на П2. Точки F2 і L1 – видимі, E2 і K1– невидимі.

Аналогічні висновки роблять і для прямих, яким належать указані точки. Коли YF > YE, то проекція C2D2, якій належить F2, проходить перед А2В2. А коли ZL> ZК, то проекція C1D1, якій належить точка L1, проходить над А1В1.

а

б

в

Рисунок 1.8.7

35

1.8.4Площина, точка і пряма в площині

1.Положення площини у просторі може бути задано на епюрі по-різному: проекціями трьох точок, які не лежать на одній прямій; проекціями двох прямих; проекціями двох прямих, що перетинаються; проекціями прямої і точки, яка не лежить на прямій, проекціями плоскої фігури; слідами.

2.Відносно площини проекцій площини поділяються на площини загального положення і площини особистого положення. Останні можуть бути перпендикулярними до однієї з площин проекцій – це проеціюючі площини, або до двох площин одночасно це – площини рівня. Залежно від розміщення площини рівня поділяються на горизонтальні, фронтальні та профільні.

3.Площини рівня проеціюються на площини проекцій, яким вони не паралельні, у вигляді прямих, паралельних відповідним координатним осям.

4.Усі геометричні елементи, що належать площині рівня, проеціюються на паралельну їй площину проекцій у натуральну величину.

5.Проеціюючими називаються площини, перпендикулярні до горизонтальної, фронтальної та профільної площин проекцій і називаються відповідно

горизонтально-, фронтально- і профільно-проеціюючими площинами.

6.Проеціююча площина проеціюється на перпендикулярну до неї площину проекцій у пряму лінію.

7.Проеціююча площина утворює кути з неперпендикулярними до неї площинами проекцій, натуральна величина яких зображується на перпендикулярній до неї площині проекцій.

8.Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, яка міститься в цій площині. Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що лежать в даній площині.

9.Ознакою належності точки і прямої до площини часткового положення є суміщення на епюрі їхніх проекцій з однойменними слідами-проекціями даної площини.

10.У площині загального положення можна провести такі характерні пря-

36

мі: горизонталь, фронталь, профільну пряму, лінію найбільшого нахилу до кожної з площин проекцій , а також довільну пряму загального положення.

11. Горизонталь – пряма, що лежить у площині та паралельна горизонтальній площині проекцій П1. Побудова горизонталі завжди починається з її фронтальної проекції, яка паралельна до осі ОХ ( рис. 1.8.8 ).

12.Фронталь – пряма, що лежить у площині та паралельна фронтальній площині проекцій П2. Побудова фронталі завжди починається з її горизонтальної проекції, яка паралельна осі ОХ ( рис. 1.8.8).

13.Слідом площини називається пряма перетину заданої площини з площиною проекцій. Для його побудови достатньо знайти відповідні сліди двох прямих, що належать площині, та з’єднати їх прямою ( рис. 1.8.8 ).

Рисунок 1.8.8

Приклад 7

Знайти фронтальну проекцію точки D - (D2 ), якщо задана її горизонта-

льна проекція D1 і відомо, що точка D має лежати в площині, яку задано трикутником АВС (рис. 1.8.9).

На горизонтальній проекції проводять пряму через точки А1 і D1 і відміча-

ють точку 11, де пряма А1D1 перетинає відрізок В1С1. Побудувавши фронталь-

37

ну проекцію 12 на В2С2,, дістанемо пряму А1, розміщену в площині трикутни-

ка АВС, оскільки вона проходить через дві точки А і 1, які лежать в даній пло-

щині. Розшукувана фронтальна проекція D2 точки D визначається на перетині

лінії зв’язку, проведеної з точки D1 , з фронтальною проекцією А212 .

Рисунок 1.8.9 1.9 Взаємне положення прямої і площини, двох площин 1.9.1 Точка перетину прямої з площиною

Точка перетину прямої і площини – перша основна позиційна задача нарисної геометрії.

1.Якщо пряма і площина перетинаються, то вони мають спільну точку –

точку перетину прямої з площиною.

2.Послідовність (алгоритм) розв’язання задачі щодо визначення точки перетину прямої з площиною складається з трьох операцій:

- через пряму проводять допоміжну проеціюючу площину – посередник; - знаходять лінію перетину допоміжної площини з заданою; - відмічають точку перетину прямої з лінією перетину двох площин.

3.Проеціюючу або площину рівня проекції точки перетину з прямою визначають безпосередньо, оскільки одна проекція є точка перетину проекції

38

сліду площини з однойменною проекцією прямої, а друга визначається за умовою від повідним чином.

Розглянемо перетин прямої з площиною у загальному випадку.

Приклад 8

Визначити точку перетину прямої m з площиною, заданою трикут-

ником АВС (рис. 1.8.10). Розв’язання вправи проводять у такій послідовності: 1. Через m1 (або через m2 ) проводять горизонтальний (фронтальний) слід горизонтально-проеціюючої (фронтально-проеціюючої) площини Г ( Г1) або

(Г2).

2.Визначають фронтальну (горизонтальну) проекцію лінії перетину площини Г з даною площиною ( АВС ) або l1, для цього використовують точки 1 і 2, в яких горизонтальний слід Г1 перетинає горизонтальні проекції сторін АВ і ВС трикутника.

3.Визначають точку перетину К2 заданої прямої з трикутником, як результат перетину m і l , тобто m2 ∩ l2 = К2. (Перетин m2 з l2 створює точку К2). Знаючи К2, знаходимо К1 за допомогою лінії зв’язку К2К1.

Далі визначають видимість за допомогою конкуруючих точок.

Рисунок 1.8.10

39

1.9.2 Перетин площин Лінія перетину двох площин – пряма, яка визначається двома її точками

або однією точкою і відомим напрямком цієї лінії.

1.Лінію перетину двох площин визначають побудовою точок перетину двох прямих однієї з площин з другою площиною.

2.Точки, які належать лінії перетину двох площин, можна визначити за допомогою допоміжних січних площин-посередників (проеціюючі площини або площини рівня).

3.Якщо площини задано слідами, то точки перетину однойменних слідів визначатимуть лінію перетину цих площин.

4.Якщо одна з площин буде площиною рівня, то лінія їх перетину буде горизонталлю або фронталлю іншої площини.

Приклад 9

Визначити лінію перетину l площин Г ( a ∩ b ) і Р (c // d ) (рис . 1.8.11).

Розв’язання:

1.Проводять допоміжну горизонтально-проеціюючу площину Т(Т1).

2.Визначають проекції прямих m = Т ∩ Г і n = Г ∩ Р. Оскільки площина

Т перпендикулярна до П1, то m1 і n1 збігаються з Т1 .

3.За допомогою точок 11 і 21, 31 і 41, які належать прямим m і n , визначають фронтальні проекції точок 12 , 22 , 32 , 42 , які визначають прямі m 2 і n2.

4.Відмічають точку перетину фронтальних проекцій прямих L2 = m2 ∩ n2. Горизонтальна проекція L1 належить горизонтальним проекціям m1 і n1.

5.Для визначення точки L1 проводять площину Ф, паралельну до Т, і повторюють побудову. Перетин m1 ∩ n1 = L1. Точки L і L1 визначають шукану пряму l.

40