258

Рисунок 1.8.11 1.9.3 Паралельність і перпендикулярність прямих і площин

Пряма лінія може бути як паралельною, так і перпендикулярною до площини.

Площини між собою можуть бути як паралельними, так і перпендикулярними.

1.Пряма паралельна даній площині, якщо вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у даній площині.

2.Якщо пряма паралельна площині особистого положення, то проекція сліду площини – паралельна відповідній проекції прямої.

3.Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини, паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини, то такі площини – паралельні.

4.Однойменні сліди паралельних площин – паралельні.

5.Однойменні лінії рівня паралельних площин – взаємно паралельні.

6.Прямий кут між прямими проеціюється без спотворення, якщо хоча б одна сторона його паралельна площині проекцій, а друга – не перпендикулярна до площини проекцій.

41

7.Горизонтальна проекція перпендикуляра до площини – перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі площини за напрямом, а фронтальна проекція – до фронтальної проекції фронталі площини за напрямом .

8.Проекція перпендикуляра до площини – перпендикулярна до однойменних слідів площини.

9.Площина перпендикулярна до другої площини, якщо в ній є перпендикуляр до неї.

10.Пряма перпендикулярна до другої прямої, якщо вона лежить у площині, перпендикулярній цій другій прямій.

11.Взаємно перпендикулярні прямі можуть перетинатися або бути мимобіжними.

Приклад 10

Через точку А провести пряму m, паралельну площині Ф (а ∩ b) (рис.

1.8.12)

1. У площині Ф (a ∩ b ) проведемо довільну пряму l. Побудуємо l1 ( 11, 21 ) і визначимо l2 (12 і 22 ) або побудуємо l2 ( 12, 22 ) і визначимо l1 (11 , 21 ).

2. Через проекції точки А проведемо проекції прямої m, відповідно паралельні проекціям l1 і l2.

Рисунок 1.8.12

42

Приклад 11

Через точку А провести площину Р, паралельну даній площині Ф(а// b)

(рис. 1.8.13).

1.У площині Ф(а // b) проведемо довільну пряму l( l1 , l2 ).

2.Через точку А(А1, А2) проводять пряму n (n1, n2), паралельну l ( l1, l2 ).

3.Другу пряму m (m1, m2) проведемо через точку А (А1, А2), паралельну

аабо b. Площина Р(m ∩ n) паралельна площині Ф (а // b) відповідно за умовою паралельності площин.

Рисунок 1.8.13

Приклад 12

Через вершину А провести перпендикуляр r до площини АВС (рис. 1.8.14).

1. Проводять проекції горизонталі h (h1, h2) і фронталі f (f1, f2) площини

АВС.

2. З точки А1 проводять перпендикуляр у напрямку до h1 , а з точки А2 – у

напрямку f2 за умовою перпендикулярності прямої до площини. Пряма перпен-

дикулярна до площини, коли вона одночасно перпендикулярна до неспотворе-

них проекцій фронталі f2 і горизонталі h1, котрі дорівнюють НВ.

43

Рисунок 1.8.14

Приклад 13

Через задану пряму а провести площину Ф, перепендикулярну до

площини Г (m // n) (рис. 1.8.15).
1. У площині Г (m // n) будуємо проекції h	і f .
2. З горизонтальної проекції точки А, яку довільно вибираємо на прямій
а, проведемо проекції перпендикуляра l1	перпендикулярно до h1 , l2

перпендикулярно до f2.

3. Площина Ф (а ∩ l) перпендикулярна до Г (m // n), тому що пряма l перпендикулярна до площини Г – це є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності площин.

Рисунок 1.8.15

44

Через точку А провести площину Г, перпендикулярну до прямої m (рис.

1.8.16).

1.Через проекції точки А(А1, А2) проведемо проекції горизонталі h(h1, h2) і фронталі f (f1, f2 ), причому h1 – перпендикулярно m1, f2 – перпендикулярно m2.

2.Шукана площина Г(h ∩ f) перпендикулярна до прямої m за властивістю проекцій прямого кута.

Рисунок 1.8.16

1.10 Пояснення до розв’язання задачі, що надана на рис. 1.17 (арк. 5 РГР–1)

Побудова відрізка прямої, його натуральної величини, слідів і кутів нахилу до площин проекцій

За заданими координатами точок A, B, C, D, E, F побудувати проекції точок в П1 і П2 , потім

-натуральну величину відрізка прямої АВ за допомогою прямокутного трикутника для прямої загального вигляду, розділ 1.8.2, приклад 6;

-натуральну величину α – кута нахилу відрізка АВ до П1 визначають як кут між горизонтальною проекцією АВ та його натуральною величиною;

-натуральну величину β – кута нахилу відрізка АВ до П2 визначають як кут між фронтальною проекцією та його натуральною величиною;

45

- сліди відрізка АВ: М – горизонтальний, N – фронтальний.

Для визначення горизонтального сліду відрізка прямої АВ за її проекціями необхідно продовжити фронтальну проекцію А2В2 до перетину з віссю ОХ, з точки М2 (фронтальної проекції горизонтального сліду) провести лінію зв'язку до перетину з продовженням горизонтальної проекції А1В1. Точка М1 є горизонтальною проекцією горизонтального сліду – вона збігається з самим слідом М.

Для визначення фронтального сліду відрізка прямої АВ необхідно горизонтальну проекцію відрізка прямої А1В1 продовжити до осі ОХ, з точки N1 (горизонтальної проекції фронтального сліду) провести лінію зв’язку до перетину з продовженням фронтальної проекції А2В2. Точка N2 є фронтальною проекцією фронтального сліду; вона збігається з самим слідом N.

-пряму l – проводять через точку С паралельно до відрізка АВ (рис. 1.8.7);

-прямі рівня h i f – проводять через точку С так, щоб h i f перетинали заданий відрізок АВ; h2 проводять паралельно до осі ОХ і до перетину з А2В2, потім визначають точку 12, далі через горизонтальні проекції точок С і 1 будують горизонтальну проекцію горизонталі; f1 проводять паралельно до осі ОХ і до перетину з прямою А1В1, потім визначають 21, далі через фронтальні проекції точок С і 2 будують фронтальну проекцію фронталі;

-прямі n i m проводять через точку D таким чином, щоб n була паралельною до П3; m – перпендикулярна до П3. Пряма n – паралельна до П3 , якщо її фронтальна проекція n2 паралельна осі Z, а горизонтальна проекція n1 – паралельна осі Y. Пряма m – перпендикулярна П3 , якщо її горизонтальна і фронтальна проекції паралельні осі X;

-пряму а проводять через точку E перпендикулярно до П1 і її горизонтальна проекція перетворюється в точку, пряму b проводять через точку F перпендикулярно до П2 і її фронтальна проекція перетворюється в точку.

46

1.11Пояснення до розв’язання задачі, що надана на рис. 1.18 (арк. 6 РГР- 1)

Побудувати горизонталі, фронталі, лінії найбільшого нахилу (скату)

до площин проекцій П1, П2 , а також фронтального і горизонтального слідів площини трикутника АВС.

1.У площині загального положення – трикутнику АВС (рис. 1.18 а) будують лінії рівня – горизонталь і фронталь. Спочатку будують горизонталь h (h2, h1) через вершину А, потім через вершину С будують фронталь f (f1, f2).

2.Побудова лінії скату до площин проекцій П2 і П1. Спочатку будують лінію скату до П2 – це пряма s (s2,s1). Побудову починають з її фронтальної проекції s2. Для цього проводять пряму через вершину В2 перпендикулярно до f2, а горизонтальну проекцію – через точки 31 і В1.. Точку 31 будують за проекційною відповідністю – тобто за допомогою лінії зв'язку 32 - 31.

3.Побудова лінії найбільшого нахилу ( ЛНХ ) до П1 і П2 . Побудову почи-

нають з проведення лінії s11 через В1 і перпендикулярно до h1. Фронтальну проекцію ЛНХ будують за допомогою прямої лінії s21, яку проводять через точки В2 і 42 . Точку 42 будують за проекційною відповідністю – тобто за допомогою лінії зв'язку 41 - 42.

4.Побудова слідів площини трикутника АВС. Для побудови слідів пло-

щини трикутника АВС використовують властивість слідів площини проходити через сліди прямих, якими ця площина задається, а також паралельністю слідів лініям рівня. Горизонтальний слід площини – h10 – паралельний до горизонтальної проекції горизонталі h1, а фронтальний слід – f20 – паралельний до фро-нтальної проекції фронталі f2.

4 а) Побудова горизонтального сліду трикутника АВС. Спочатку визна-

чають горизонтальний слід прямої АВ – М1, потім горизонтальний слід прямої ВС – М11 і з’єднують прямою лінією-слідом М1 з М2 . Таким чином, отримують горизонтальний слід трикутника АВС – h0 ≡ h10, який паралельний до горизонтальної проекції горизонталі h1 ≡ НВ цього трикутника.

47

4 б) Побудова фронтального сліду трикутника АВС. Далі, аналогічно по передньому, будують фронтальний слід прямої АВ - N2 і через нього паралельно фронтальній проекції фронталі f2 проводять фронтальний слід трикутника АВС – f 0 ≡ f 02. Сліди трикутника АВС перетинаються на осі ОХ у точці сходу слідів – Х.

Друга частина задачі, що надана на рис. 1.18 б, розв’язується аналогічно, але у значенні горизонталі трикутника АВС вже є сторона АС цього трикутника, тобто AC ≡ h2 II OX.

1.12Пояснення до розв’язання задачі, що надана на рис. 1.19 (арк. 7 РГР- 1)

Побудувати лінію перетину двох трикутників та визначити їхню ви-

димість.

Лінія перетину двох трикутників – це пряма. Пряму можна провести через дві точки, або якщо відома одна точка та напрямок.

Для побудови лінії перетину використавують одну з основних позиційних

задач нарисної геометрії – визначення точки перетину прямої з площиною.

У загальному випадку, коли дві площини трикутників накладені одна на одну, тобто суміщені, необхідно вибрати послідовно дві прямі – першу з трикутника АВС, а другу – з трикутника EDK. Далі розв’язують задачу побудови точок перетину прямих з площинами двічі. Як-от: послідовно будують спочатку точку перетину першої прямої лінії з площиною другого трикутника, а потім точку перетину другої прямої з площиною першого трикутника. Побудовані точки з'єднують між собою прямої лінією, яка і буде лінією перетину двох площин трикутників.

Проекцію сторони В2С2 трикутника А2В2С2 беруть в якості першої прямої, далі визначають точку перетину Q цієї прямої з площиною трикутника DEK, для чого:

- через проекцію сторони В2С2 проводять допоміжну, у даному випадку, фронтально-проеціюючу площину-посередник Ф21 ;

48

-будують лінію перетину цієї площини з проекцією трикутника D2E2K2 – це пряма 12 22;

-визначають горизонтальну проекцію лінії перетину 11 21 за проекційною

відповідністю, тобто за допомогою ліній зв'язку 1112 і 2122 ;

-визначають точку перетину проекції 11 21 з - В1С1 – це буде точка Q1;

-визначають точку перетину проекції 12 22 з – В2С2 за проекційною відповідністю, тобто за допомогою ліній зв'язку Q1Q2, яка перетинає лінію 1222 у точці Q2–це буде друга проекція точки перетину прямої ВС з площиною трикутни-

ка EDK.

Далі, у значенні другої прямої беруть проекцію E2D2 – сторону проекції трикутника D2E2K2, для чого:

-через проекцію сторони Е2D2 проводять допоміжну, у даному випадку, фронтально-проеціюючу площину-посередник Ф2;

-будують лінію перетину цієї площини з проекцією трикутника А2В2С2 – це пряма 3242;

-визначають горизонтальну проекцію лінії перетину 3141 за проекційною відповідністю, тобто за допомогою ліній зв'язку 3231 і 4241;

-визначають точку перетину проекції 31 41 з - D1E1 – це буде точка G1;

-визначають точку перетину проекції 32 42 з – E2D2 за проекційною відповідністю, тобто за допомогою ліній зв'язку G1G2, яка перетинає лінію 3242 у точці G2 – це буде друга проекція точки перетину прямої ED з площиною трикутника АВС.

Далі з’єднують точку Q1 з точкою G1, а точку Q2 з G2 і отримують відповідні проекції лінії перетину трикутників АВС і DEK – Q1G1 i Q2G2.

Потім визначають видимість інших ліній трикутників за допомогою кон-

куруючих точок, наприклад 6,7; 8,9; 10,11.

Для наочності зображення взаємного положення і перевірки слушності побудов треба виділити перший трикутник фарбуванням світлим кольором, як вказано на рис. 1.19 (РГР-1 Аркуш 7).

49

1.13Пояснення до розв’язання задачі, що надана на рис. 1.20 (арк. 8 РГР-1)

Побудувати натуральну величину відстані від точки D до площини трикутника АВС та точку Е, симетричну точці D відносно площини трикутника АВС

Ця задача комплексна і вона складається з чотирьох задач:

-через точку D провести перпендикуляр до площини трикутника АВС;

-визначити точку перетину перпендикуляра з площиною трикутника АВС, тобто точку К;

-визначити натуральну величину перпендикуляра DK за допомогою прямокутного трикутника;

-побудувати точку Е, симетричну точці D відносно площини трикутника

АВС.

Спочатку через точку D проводять перпендикуляр до площини трикутника

АВС.

Відомо, що пряма перпендикулярна до площини, якщо вона одночасно перпендикулярна до двох прямих, що розташовані в цей площині, котрі перетинаються. Також відомо, що в якості цих прямих зручно використовувати головні лінії площини – фронталь і горизонталь.

Фронтальна проекція такої прямої повинна бути перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі f2, а горизонтальна проекція прямої – перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі h1 цієї площини.

Таким чином, у трикутнику АВС спочатку будують фронталь f (f1,f2) і горизонталь h (h2, h1).

Далі, через точку D2 проводять перпендикулярну лінію за напрямком до f2,

ачерез D1 проводять лінію перпендикулярно до h1 .

2. У другій частині задачі визначають точку перетину перпендикуляра (прямої загального положення) з площиною трикутника АВС, тобто точку К за відомою наступною послідовністю:

50