Динамика билеты / 28Дифференциальные уравнения вращательного движения

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

 Для изучения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно оси (ПРОШЛЫЙ БИЛЕТ НОМЕР 27):

 dK_z/dt = M_z^e.                                            (3.11)

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения z (рисунок 3.4), действует система заданных внешних активных сил (F₁, F₂, F₃,...,F_n ), определяющих угловую скорость ω и угловое ускорение ε этого тела в его вращательном движении вокруг оси z. Одновременно на это же тело действуют силы реакции R_A подпятника иR_B радиального подшипника. 

Определяем правую часть уравнения (3.11):

 M_z^e = ∑M_z(F_j^e) + M_z(R_A) + M_z(R_B).

Поскольку M_z(R_A) = M_z(R_B) = 0, то M_вращ = M_z^e = ∑M_z(F_j^e).

Рисунок 3.4

Найдем момент количества движения (кинетический момент) K_z вращающегося твердого тела. Для этого выделим точку M_j тела на расстоянии r_j от оси вращения и имеющую скорость V_j = ω⋅r_j. Очевидно, что K_zj = m_j ⋅ V_j ⋅ r_j = m_j ⋅ω ⋅r_j². Тогда момент количества движения (кинетический момент) всего вращающегося тела будет:

 K_z = ∑K_zj = ∑m_j ⋅ω ⋅r_j²,

где ∑m_j ⋅r_j² = J_z.

Следовательно, окончательно будем иметь

 K_z = J_z ⋅ ω.                                             (3.1)

Подставляя в уравнение (3.11)  выражение (3.12), получаем

J_z ⋅ dω/dt = M_вращ,

или

J_z ⋅d²φ/dt² = M_вращ.                          (3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Поскольку dω/dt = ε, имеем

 ε = M_вращ/J_z.                                      (3.14)

Полученное выражение (3.14) показывает, что осевой момент инерции J_z тела следует рассматривать как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг неподвижной оси.