9

Глава 2

Основы теории измерений

2.1. ОСНОВНОЙ ПОСТУЛАТ МЕТРОЛОГИИ

Любое измерение по шкале отношений предполагает срав­нение неизвестного размера с известным и выражение первого через второй в кратном или дольном отношении. При измерении физических величин в качестве известного размера естест­венно выбрать единицу СИ. Тогда процедура сравнения неиз­вестного значения с известным и выражения первого через второе в кратном или дольном отношении запишется следующим образом: Q/[Q]. В квалиметрии сравнение производит­ся обычно со значением базового показателя качества или с представлением о наивысшем качестве, которое оценивается максимальным количеством баллов.

На практике непосредственно неизвестный размер не всег­да может быть представлен для сравнения с единицей. Жидкос­ти, например, и сыпучие вещества предъявляются на взвешива­ние в таре. Очень маленькие линейные размеры могут быть измерены только после увеличения их микроскопом или дру­гим прибором. В первом случае процедура сравнения выглядит как определение отношения , во втором — ,

где в рассматриваемыx примерах  — масса тары, а  — коэффициент увеличения. Само сравнение в свою оче­редь происходит под влиянием множества случайных и неслу­чайных, аддитивных (от латинского additivus — прибавляе­мый) и мультипликативных (от латинского multiplico — умно­жаю) факторов, точный учет которых невозможен, а резуль­тат совместного воздействия непредсказуем. Ограничиваясь для простоты аддитивными воздействиями, совместное влия­ние которых можно учесть случайным слагаемым η, получим следующее уравнение измерения по шкале отношений:

(2)

Оно выражает некоторое действие, процедуру сравнения в реальных условиях, которая, собственно, и является измере­нием. Главной особенностью измерительной процедуры является то, что при ее повторении из-за случайного характера ή от­счет по шкале отношений хполучается все время разным. Это фундаментальное положение является законом природы. На основании громадного опыта практических измерений, накоп­ленного к настоящему времени, может быть сформулирова­но следующее утверждение, называемоеосновным постулатом метрологии:отсчет является случайным числом. На этом постулате, который легко поддается проверке и остается спра­ведливым в любых областях и видах измерений, основана вся метрология.

Уравнение (2) является математической моделью измерения по шкале отношений. Отсчет в ней не может быть представлен одним числом. Его можно лишь описать словами или математическими символами, представить массивом эк­спериментальных данных, таблично, графически, аналитичес­ким выражением и т.п. Проиллюстрируем это двумя приме­рами.

Пример 3.Прип—кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера на световом табло цифрово­го измерительного прибора в случайном порядке появлялись числах_i, представленные в первой графе табл. 5.

Таблица 5

Xi	Mj	Р (Xi)	F (Xi)
90,10	1	1/100 = 0,01	0,01
90,11	2	2/100 = 0,02	0,01+0,02=0,03
90,12	5	5/100 = 0,05	0,03+0,05=0,08
90,13	10	10/100= 0,10	0,08+0,1=0,18
90,14	20	20/100= 0,20	0,18+0,2 =0,38
90,!5	24	24/100= 0,24	0,38+0,24=0,62
90,16	19	19/100= 0,19	0,62+0,19=0,81
90,17	11	11/100= 0,11	0,81+0,11=0,92
90,18	5	5/100 = 0,05	0,92+0,05=0,97
90,19	2	2/100 = 0,02	0,97+0,02=0,99
90,20	1	1/100 = 0,01	0,99+0,01=1,00

Каждое i-e число появилось M_i, раз. Что представляет собой отсчет при та­ком измерении?

Решение. Ни одно из чисел в первой графе таблицы, взятое в отдель­ности, не является отсчетом. Отсчет характеризуется всей совокупностью этих чисел с учетом того, как часто они появлялись. Принимая частоту встречаемости (M_i/n) каждого i-го числа за вероятность его появления P(x_i), заполним третью графу в табл. 5. В совокупности с первой она даст нам распреде­ление вероятности отсчета, представленное таблично. Его же можно представить графически так, как это показано на рис. 4. А можно пос­тупить и по другому. Проставим в четвертой графе табл. 5 вероятности того, что на табло показывающего измерительного прибора появится число, меньшее или равное тому, которое значится в первой графе. В совокупности с первой графой это даст нам представленную таблично функцию распределения вероятности отсчета. Графически она выглядит так, как это показано на рис. 5.

Как распределение вероятности Р(х_i), так и функция распределения вероятности F (х_i) являются исчерпывающим описанием отсчета у цифровых измерительных приборов лю­бой конструкции.

Пример 4. При n-кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера аналоговым измери­тельным прибором указатель отсчетного устройства в случайной пос­ледовательности по m раз останавливался на каждом из делений шка­лы:

Деление шкалы m

0,10…0,11 1

0,11…0,12 2

0,12... 0,13 6

0,13... 0,14 11

0,14... 0,15 19

0,15... 0,16 23

0,16... 0,17 20 0,17... 0,18 10

0,18…0,19 5 0,19... 0,20 3

Что представляет собой отсчет при таком измерении?

Решение. Принимая деления шкалы за основания, построим на них прямоугольники с высотами, равными отношению частостей к цене деления шкалы (в данном случае безразмерной). Получившаяся фи­гура, показанная на рис. 6, а, называется гистограммой (от греческого «гистос» – ткань, строение). Соединив теперь отрезками прямых середины верхних сторон прямоугольников, как это показано на рисунке, получим ломаную линию, называемую полигоном (от греческого слова - многоугольник).

Как гистограмма, так и полигон являются исчерпываю­щим эмпирическим описанием отсчета у аналоговых измери­тельных приборов любой конструкции.

Если бы была возможность увеличивать n, то в пределе при иполигон перешел бы в кривуюплотности распределения вероят­ности отсчета P_(х), показанную на рис. 6, б.

Здесь так же, как в примере 3, можно поступить по-другому. Под­считывая, сколько раз указатель отсчетного устройства останавливался левее каждой отметки шкалы, откладывая над этой отметкой вдоль оси ординат отношение числа таких отклонений к их общему числу п и сое­диняя полученные точки отрезками прямых, мы получим ломаную ли­нию, показанную на рис. 7, а, и называемую кумулятивной кривой. Как гистограмма и полигон, она исчерпывающе характеризует отсчет у аналоговых измерительных приборов. Если бы опять-таки была возможно­сть увеличивать п, то при икумулятивная кривая перешла бы в графикфункции распределения вероятности отсчета F (х), показан­ный на рис. 7, б.

Плотность распределения вероятности р(х) и функция распределения вероятности F(х) служат в теории вероятности моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных методами математической ста­тистики.

После выполнения измерительной процедуры в уравнении (2) остаются два неизвестных; Q и . Неслучайное значениелибо должно быть известно до измерения, либо устанавли­вается посредством дополнительных исследований. Слагаемое, являющееся случайным, не может быть известно в принци­пе. Поэтому определить значение измеряемой величины

(3)

невозможно.

Равенство (3) соблюдается точно, благодаря тому, что при повторных выполнениях измерительной процедуры случайное изменение второго слагаемого в правой части всякий раз вле­чет за собой точно такое же изменение первого. О таких сла­гаемых говорят, что они коррелированны (взаимосвязаны) между собой. Разность между коррелированными значениями двух случайных величин неслучайна, но в данном случае неизвестна. Поэтому строгого решения уравнение (3) не имеет.

На практике удовлетворяются приближенным решением. Для этого используются результаты специального исследова­ния, называемого метрологической аттестацией средства из­мерений и методики выполнения измерений. В ходе этого исследования приближенно определяется среднее значение вто­рого слагаемого в правой части формулы (3):

.

Среднее значение не является случайным. Поэтому, после за­мены случайного второго слагаемого в правой части уравне­ния (3) неслучайным значением Н, получается приближенное решение

, (4)

в котором результат измерения Q является случайным зна­чением измеряемой величины.

Первое слагаемое в правой части выражения (4) называ­ется показанием

Х=х [Q].

Оно подчиняется тому же закону распределения вероятности, что и отсчет, но отличается от последнего тем, что

dim x = dim q.

Два последних слагаемых в правой части формулы (4) представляют суммарную поправку

,

которая может включать и большее количество составляющих в зависимости от числа учитываемых факторов. Поправка не является случайной, но может изменяться от измерения к из­мерению по определенному закону. Поэтому в каждое отдель­ное значение показания X_i может вноситься своя поправка _i.

Результат измерения Q подчиняется тому же закону рас­пределения вероятности, что показание и отсчет, но смещен­ному по оси абсцисс на значение суммарной поправки. Отдель­ное его значение

(5)

получаемое всякий раз после выполнения измерительной про­цедуры, называется результатом однократного измерения. Среднее арифметическое значение результата измерения, полученное при многократном независимом измерении одной и той же величины постоянного размера.

(6)

называется результатом многократного измерения.

Уравнение измерения интервала записывается аналогично уравнению (2):

где — значение разности между двумя размерами физи­ческой величины. Анализ этого уравнения не отличается от анализа уравнения (2).

Математической моделью измерения по шкале порядка служит неравенство

, (8)

описывающее процедуру сравнения двух размеров одной и той же измеряемой величины. Результатом сравнения в этом случае является не отсчет, а решение о том, какой из размеров" больше, либо они одинаковы. Не исключена воз­можность как правильных, так и неправильных решений. Следовательно, результат сравнения двух размеров по шка­ле порядка является случайным, что соответствует основ­ному постулату метрологии.

Измерения по шкале порядка широко применяются при контроле, когда в условиях случайных возмущений проверя­емый размер Q₁ сравнивается с контрольным (пороговым) Q₂. Особое место занимает сравнение с Q₂ = 0, относящееся к теории обнаружения.