2.3.4. Обнаружение и исключение ошибок

Надежность эргономической системы, в которую входят человек, окружающая среда, объект измерений и срёдства измерений, не безгранична. В ней могут происходить сбои, отка­зы аппаратуры, скачки напряжения в сети питания, сейсми­ческие сотрясения, отвлечение внимания оператора, описки в записях и многое другое, не имеющее отношения к измере­ниям. В результате появляются ошибки, вероятность кото­рых, как следует из теории надежности больших систем, не так уж мала.

При однократном измерении ошибка может быть обна­ружена только путем логического анализа или сопоставления результата с априорным представлением о нем. Установив и устранив причину ошибки, измерение можно повторить.

При многократном измерении одной и той же величины постоянного размера ошибки проявляются в том, что резуль­таты отдельных измерений заметно отличаются от осталь­ных. Иногда это отличие настолько большое, что ошибка очевидна. Остается понять и устранить ее причину или просто отбросить этот результат как заведомо неверный. Если отли­чие незначительное, то оно может быть следствием, как ошибки, так и рассеяния отсчета, а, следовательно, показания и результата измерения, которые согласно основному посту­лату метрологии являются случайными. Нужно поэтому иметь какое-то правило, руководствуясь которым принимать реше­ния в сомнительных случаях.

После того, как все влияющие факторы учтены, и все поп­равки в показания внесены, рассеяние результата измерения одной и той же физической величины постоянного размера нередко бывает следствием множества причин, вклад каж­дой из которых незначителен по сравнению с суммарным дей­ствием всех остальных. Центральная предельная теорема те­ории вероятности утверждает, что результат измерения при этом подчиняется так называемому нормальному закону, кри­вые плотности распределения вероятности которого

,

при различных значениях дисперсии показаны на рис. 9. Интег­ральная функция нормального закона распределения

.

Если условия центральной предельной теоремы выполня­ются, то весь массив экспериментальных данных при много­кратном измерении одной и той же величины постоянного раз­мера должен группироваться около среднего значения Q, и выпадение какого-нибудь отдельного значения результата из­мерения из этого массива позволяет предположить, что он ошибочный. Найдем вероятность, с которой любое значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, должно находиться в пределах от Q₁ до Q₂

-

Интегралы в этом выражении не могут быть выражены через элементарные функции. Более того, для интегральной функ­ции нормального закона распределения вероятности нет ни таблиц, ни графиков, так как с их помощью невозможно охватить все многообразие возможных значений и , Произведем поэтому замену переменной:

; ;.

Учитывая, что после такой замены d Q = dz, получим

-

Теперь интересующая нас вероятность выражена через раз­ность значений интегральной функции, соответствующей плот­ности распределения вероятности

P(z) = ,

характеризующей так называемый нормированный нормальный закон. Дифференциальная и интегральная функции его показаны на рис. 19, а числовые характеристики

Из рис. 19, б видно, что

.

Эта функция, связанная с интегралом вероятности — функци­ей Лапласа (см. рис. 20)

соотношением

F_(z)=+ L_(z) ,

табулирована в диапазоне значений z от 0 до 3,3, за предела­ми которого в сторону больших z практически неотличима от 1. Если выбрать z₂ = — z₁ и обозначить эту величину че­рез t, что будет соответствовать, как это показано на рис. 21, выбору границ интервала [Q₁ ; Q₂], равноотстоящих от среднего значения Q на ± t _Q, т.е.

Q₁=- t_Q;

Q₂=+ t_Q;

то окончательно получим:

=2F(t)-1 = 2L(t) (9)

По табличным значениям функций, входящих в это урав­нение, построена верхняя кривая на рис. 22. Параметр t играет в метрологии важную роль. Он показывает, на сколько c заданной вероятностью может отличаться отдельное значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, от своего среднего значения. Так, например, из графика на рис, 22 видно, что

с Р = 0,5 на ± ;

с Р= 0,68 на ±;

с Р= 0.95 на ± 2;

с Р= 0,99 на ± 2,6 ;

с Р= 0,997 на ± 3 .

Эта вероятность называется доверительной, интервал [] — доверительным интервалом, а его границы Q₁ и Q₂ — доверительными границами. Из графика следует, что доверительный интервал зависит от доверительной вероят­ности. С очень высокой вероятностью 0,997 все значения ре­зультата измерения, подчиняющегося нормальному закону, должны группироваться в пределах доверительного интер­вала Q ± 3 . На этом основании можно сформулировать следующее правило: если при многократном измерении од­ной и той же физической величины постоянного размера

сомнительное значение результата измерения отличается от среднего значения больше чем на 3 , то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и его следует отбросить.

Это правило называется "правилом трех сигм".

Пример 13. Одной из причин рассеяния результатов радиотехни­ческих измерений служит "шум" первых каскадов усиления в из­мерительных преобразователях. Напряжение "шума" является слу­чайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распреде­ления вероятности с нулевым средним значением и дисперсией, рав­ной мощности "шума", выделяемой на сопротивлении 1 Ом.

Определить, не содержится ли ошибок в следующих эксперимен­тальных данных, полученных при измерении мгновенного значения шумового напряжения в отсутствии полезного сигнала (мили – 10^-3): — 4,2 мВ; 0,3 мВ; 5,7 мВ; -1,6 мВ; - 7,2 мВ; 3,9 мВ; 2,2 мВ; - 0,1 мВ; 1,4 мВ, если мощность "шума",выделяемая на нагрузке 1 Ом, равна - 4мкВт.

Решение. Среднее квадратическое отклонение мгновенного значе­ния шумового напряжения составляет 2 мВ. По "правилу трех сигм", следовательно, нужно признать, что в пятом случае допущена какая-то ошибка. Можно, конечно, принимать решения и с меньшей вероят­ностью. В рассмотренном примере с вероятностью 0,99, нап­ример, допущена ошибка и в третьем случае. На практике, од­нако, преимущественное распространение получило "правило трех сигм". Условием его применения служит уверенность в том, что результат измерения подчиняется нормальному за­кону распределения вероятности. Если такой уверенности нет, то указанное обстоятельство следует проверить. Так как ошибка искажает закон распределения вероятности результа­та измерения, то проверка его нормальности производится после исключения ошибки. Как это делается подробно рас­смотрено в следующих разделах.

В некоторых случаях известно заранее, что результат из­мерения подчиняется равномерному закону распределения вероятности. Например, из-за люфтов и трения в опорах под­вижной части измерительного механизма он с равной вероят­ностью может отличаться от среднего значения на любую ве­личину в пределах общего люфта. Последний обычно извес­тен, так что появление больших отклонений может быть следствием только ошибок. Без дополнительной проверки они должны быть отброшены.

2.4. ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Измерение состоит в получении информации о значе­нии измеряемой величины. Означает ли это, что до измере­ния об этой величине ничего не известно?

Нет, не означает. Напротив, для того, чтобы провести измерение, нужно уже знать достаточно много. В первую оче­редь нужно хорошо себе представлять объект исследования. Внутренний диаметр полого шара не измерить ни обычной линейкой, ни микрометром. Для измерения расстояний меж­ду атомами в кристалле не годятся ни концевые, ни штрихо­вые меры длины. Некоторые измерительные задачи вообще бессмысленно ставить. Нельзя, например, измерить ни цвет, ни вкус, ни запах электрона. Нужно знать размерность изме­ряемой величины. В противном случае будет не ясно, с чем сравнивать ее размер: с метром? килограммом? секундой или другой единицей? Нужно иметь хотя бы ориентировочное представление и о ее размере; температуру в доменной пе­чи не измерить уличным термометром; отсутствие представ­ления о силе электрического тока при грозовом разряде обер­нулось для Г.В. Рихмана трагедией. При постановке любых измерительных задач важно установить (а затем исключить, компенсировать, или как-то учесть) факторы, влияющие на результат измерения.

Информация, которой располагают до измерения, назы­вается априорной. Она всегда есть. Если об измеряемой ве­личине мы ничего не знаем, то ничего и не узнаем. С другой стороны, если об измеряемой величине известно все, то изме­рение не нужно. Необходимость измерения обусловлена де­фицитом информации о количественной характеристике из­меряемой величины.

Обязательное использование при измерении априорной информации можно рассматривать как второй постулат метрологии.

Наличие априорной информации о размере измеряемой величины выражается в том, что он не может быть любым в пределах от — до +. Всегда можно указать некоторые пределы, в которых находится значение измеряемой величи­ны, пусть даже очень грубо, сугубо ориентировочно. Если нельзя сказать, что в этих пределах какие-то значения изме­ряемой величины более вероятны, чем другие, то остается принять, что с одинаковой вероятностью измеряемая величина может иметь любое значение отQ₁ до О₂, т.е. воспользовать­ся ситуационной моделью

,

представленной графически на рис. 23. Дефицит информации о количественной характеристике измеряемой величины

Рис. 23. Априорная р_о (Q) и апостериорная P(Q) плотности распределения вероятности значения измеряемой величины

состоит в неопределенности ее значения на интервале [Q₁ ; Q₂ ]. Мера этой неопределенности — энтропия

H_o(Q) = .

Таким образом, дефицит информации о значении измеря­емой величины перед измерением составляет

H_o(Q) = .

Рассмотрим теперь ситуацию, складывающуюся после выполнения измерения. Результат измерения является слу­чайным значением измеряемой величины. Если влияние пос­тоянно действующих и закономерно изменяющихся во вре­мени факторов компенсировано поправками, а ошибки исключены, то отдельные значения результата измерения являются либо завышенными, либо заниженными по чисто случайным причинам:

Q₁ = Q+;

Q₂ = Q+;

…………….

Q_i = Q+;

…………….

Q_n = Q+,

где случайное отклонение принимает значения, разные по абсолютной _величине и знаку. Среднее значение случайного отклоненияравно нулю. Поэтому

=Q.

Таким образом, (см. рис. 24) значение измеряемой величи­ны равно среднему значению результата измерения. Несмещен­ность среднего значения результата измерения относительно значения измеряемой величины обеспечивает правильность измерения.

Однако на практике вычислить среднее значение резуль­тата измерения невозможно, так как при конечном объеме экспериментальных данных невозможно интегрирование в бесконечных пределах. Невозможно, следовательно, уста­новить и значение измеряемой величины. На практике исхо­дят из того, что никакое значение результата измерения с выбранной доверительной вероятностью не может отличать­ся от среднего значения больше, чем на половину довери­тельного интервала. Поэтому среднее значение результата из­мерения , а следовательно, и значение измеряемой величи­ны Q с такой же вероятностью не отличаются от любого зна­чения Q_i больше, чем на половину доверительного интервала — рис. 25. Это позволяет после выполнения измерения уста­новить интервал [Q₃; Q₄], в котором с выбранной вероят­ностью находится значение Q.

Ничего определенного относительно того, чему равно Q в пределах установленного интервала, сказать нельзя. Можно поэтому принять, что на этом интервале любые зна­чения Q равновероятны, т.е. опять-таки воспользоваться ситуационной моделью

показанной на рис. 23. Всё значение измерения заключа­ется в том, что интервал [Q₃; Q₄J меньше интервала [Q₁ ; О₂], в котором, как было установлено на основе анализа априорной информации, находится значение изме­ряемой величины. Таким образом, можно сказать, что измерение состоит в уточнении значения измеряемой ве­личины. Однако точное значение остается неизвестным и после измерения. Остаточная неопределенность составляет

то есть после измерения дефицит информации о значении измеряемой величины уменьшается на

Эта величина интерпретируется как количество информа­ции, получаемой в результате измерения, а протяженность интервалов [Q₁; Q₂] и [Q₃; Q₄] характеризует точность, с которой известно значение физической величны до и после её измерения.

По ширине доверительного интервала, в котором с выбранной доверительной вероятностью устанавливается значение измеряемой величины, измерения делятся на из­мерения низкой, высокой, высшей и наивысшей точнос­ти (см. рис. 26). Технические средства, обеспечивающие высший и наивысший уровни точности, для практических измерений не используются. Подробно они рассматрива­ется в разд. 3. Средства измерении могут быть высокой и низкой точности, хотя такая градация весьма условна: отдельные уникальные средства измерений могут достигать наивысшего уровня точности. Кроме того, нужно иметь ввиду, что точность измерений определяется не только точностью средств измерений, но и многими другими факторами, рассмотренными в разд. 2.3. Предельно дости­жимой точности измерений посвящена гл. 8.