1.3. Качественная характеристика измеряемых величин

Формализованным отражением качественного различия измеряемых величин является их размерность. Размерность обозначается символом dim происходящим от слова dimension, которое в зависимости от контекс­та может переводиться и как размер, и как размерность.

Размерность основных физических величин обозначается соответствую­щими заглавными буквами. Для длины, массы и времени, например:

Dim  = L; dim m = M; dim t = T.

При определении размерности производных величин руководствуются следующими правилами:

1.Размерности левой и правой частей уравнений не могут не совпадать, так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства. Объединяя, левые и правые части уравнений отсюда можно прийти к вы­воду, что алгебраически суммироваться, могут только величины, имеющие одинаковые размерности.

2.Алгебра размерностей мультипликативна, т. е. состоит из одного единственного действия —умножения.

2.1.Размерность произведения нескольких величин равна произведе­нию их размерностей. Так, если зависимость между значениями величинQ, А, В, Симеет видQ =А •В •С, то

dim Q = dim A • dim В • dim С.

2.2.Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей, т. е. если Q =А/В, то

dim Q = dim A/dim В.

2.3.Размерность любой величины, возведенной в некоторую степень, равна ее размерности в той же степени. Так, если Q =А^п, то

dim Q = П dim A = dim^п A.

Например, если скорость определить по формуле v = 1/t, то dim v = dim /dim t = L/T = LT^-1. Если сила по второму закону Ньютона F = mа, где а = v/t - ускорение тела, то dim F = dim m • dim a = ML/T² = LMT ^-2.

Таким образом, всегда можно выразить размерность производной физи­ческой величины через размерности основных физических величин с по­мощью степенного одночлена:

dim Q = L^ M^ T^ ...,

где L, М, Т, . . . —размерности соответствующих основных физических ве­личин; ,,, … —показатели размерности.Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным, целым или дробным числом, нулем. Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называетсябезразмерной.Она может бытьотносительной,определяемой как отношение одноименных величин (например, относительная диэлектрическая проницаемость), и логарифмической,опреде­ляемой как логарифм относительной величины (например, логарифм отношения мощностей или напряжений) .

Итак, размерность является качественной характеристикой измеряемой величины. Она отражай ее связь с основными величинами и зависитотвыбора последних. Как указывал М. Планк, вопрос об ,,истинной" размерности любой величины «имеет не более смысла, чем вопрос об „истинном'' названии какого-либо предмета». Во введении в краткий определитель бактерий Берги эпиграфом стоят такие строки, взятые из произведения В. Шекспира «Ромео и Джульетта» –Что в имени? То, что зовем мы розой, - и под другим названием сохраняло б свой сладкий запах.… По этой причине в гуманитарных науках, искусстве, спорте квалиметрии, где номенклатура основных величин не определена, теория размерностей не находит пока эффективного применения. В физике, напротив, методами теории размерностей нередко удается получить важные самостоятельные результаты. Формальное применение алгебры размерностей иногда позволяет определить неизвестную зависимость между физическими величинами.

Пример 1.В результате наблюдений установлено, что при движении по окружности силаF, прижимающая тело к опоре (рис. 1.), в какой-то степени зависит от его скоростиV, массыmи радиуса окружностиr:

F = m^ v^ r^.

Каков вид этой зависимости?

Рис. 1. Движение тела по окружности

Решение. На основании алгебры раз­мерностей:

Dim F = dim^ m • dim^ v • dim^ r,

но dim F = LMT ^-2 ; dim m = M; dim v = LT^-1; dim r = L. Отсюда

LMT ^-2 = M^ (LT' ^–1) ^ L^ = L^ M^ T^.

''^'^^^^^'' Следовательно, показатели размерности удовлетворяют уравнениям:

 =   = 1;  = -2,

решение которых:  = 1;  = 2;  = -1.

Таким образом,

F = mv²/r.

К выводу этой зависимости на основе законов механики был близок Галилей, но первым ее установил Гюйгенс.

Теория размерностей повсеместно применяется для опе­ративной проверки правильности сложных формул. Если раз­мерности левой и правой частей уравнения не совпадают, т.е. не выполняется правило 1, то в выводе формулы, к какой бы области знаний она ни относилась, следует искать ошибку.