1.4. Количественная характеристика измеряемых величин.

Количественной характеристикой измеряемой величины служит ее размер. Получение информации о размере физической или нефизической величины является содержанием любого измерения. Простейший способ получения такой информации, позволяющий составить некоторое представ-

Рис. 2. Сравнение двух размеров одной физической величины (массы) по шкале порядка

ление о размере измеряемой величины, состоит в сравнении его по принципу «что больше (меньше)?» или «что лучше (хуже)?». Более подробная информация о том, на сколько больше (меньше) или во сколько раз лучше (хуже) иногда даже не требуется. Например, масса m, на рис. 2 может быть намного, а может быть немного больше массы m, но для решения вопроса о том, что легче, получаемой таким путем измерительной информации вполне достаточно. Подоб­ным образом решаются многие задачи выбора: кто сильнее? что нагляднее? как проще? и т.п. При этом число сравнивае­мых между собой размеров может быть достаточно большим. Расположенные в порядке возрастания или убывания размеры измеряемых величин образуют шкалу порядка (1). Так, напри­мер, на многих конкурсах и соревнованиях мастерство испол­нителей и спортсменов (или целых команд) определяется их местом, занятым в итоговой таблице. Последняя, таким об­разом, является шкалой порядка — формой представления измерительной информации, отражающей тот факт, что мас­терство одних выше мастерства других, хотя и неизвестно, в какой степени (на сколько, или во сколько раз). Постро­ив людей по росту, можно, пользуясь шкалой порядка, сде­лать вывод о том, кто выше кого, однако сказать, на сколь­ко выше, или во сколько раз — нельзя. Расстановка размеров в порядке их возрастания или убывания с целью получения измерительной информации по шкале порядка называется ранжированием.

Для облегчения измерений по шкале порядка некоторые точки над ней можно зафиксировать в качестве опорных (реперных[2]). Знания, например, измеряют по реперной шка­ле порядка, имеющей следующий вид: неудовлетворитель­но, удовлетворительно, хорошо, отлично. Точкам реперной шкалы могут быть поставлены в соответствие цифры, называ­емые баллами. Например, интенсивность землетрясений из­меряется по двенадцатибалльной международной сейсмичес­кой шкале MSK-64 (табл. 1, шкала приведена с некоторыми сокращениями), сила ветра — по шкале Бофорта (табл. 2). По реперным шкалам измеряются сила морского волнения, степень торошения льда, чувствительность фотопленок, твер­дость минералов (минералогическая шкала твердости при­ведена, в табл. 3) и многие другие величины. Особенно ши­рокое распространение реперные шкалы получили в гумани­тарных науках, спорте, искусстве и других областях, где из­мерения еще не достигли высокого совершенства.

Недостатком реперных шкал является неопределенность интервалов между реперными точками. Поэтому баллы нель­зя складывать, вычитать, перемножать, делить и т.п. Более совершенными в этом отношении являются шкалы, состав­ленные из строго определенных интервалов. Общепринятым, например, является измерение времени по шкале, разбитой на интервалы, равные периоду обращения Земли вокруг Солнца (летоисчисление). Эти интервалы (годы) делятся на боле мелкие (сутки), равные периоду обращения Земли вокруг своей оси. Сутки в свою очередь делятся на часы, часы на минуты, минуты на секунды. Такая шкала называете, шкалой интервалов (3). По шкале интервалов можно уж судить не только о том, что один размер больше другого, но и о том, на сколько больше, т.е. на шкале интервалов определены такие математические действия, как сложение и вычитание.

Таблица 1

Балл	Название землетрясения	Признаки
I	Незаметное	Отмечается только сейсмическими приборами
2	Очень слабое	Ощущается отдельными людьми, находящими­ся в состоянии покоя
3	Слабое	Ощущается лишь небольшой частью населения
4	Умеренное	Распознается по мелкому дребезжанию и ко­лебанию предметов, посуды и оконных стекол, скрипу дверей и стен
5	Довольно сильное	Общее сотрясение зданий, колебание мебели, трещины оконных стекол и штукатурки, пробуж­дение спящих
6	Сильное	Ощущается всеми. Картины падают со стен, откалываются куски штукатурки, легкое пов­реждение зданий
7	Очень сильное	Трещины в стенах каменных домов. Антисейс­мические, а также деревянные постройки остают­ся невредимы
8	Разрушитель­ное	Трещины на крутых склонах и на сырой поч­ве. Памятники сдвигаются с места или опрокиды­ваются. Дома сильно повреждаются
9	Опустоши-тельное	Сильное повреждение и разрушение каменных домов
10	Уничтожаю-щее	Крупные трещины в почве. Оползни и обвалы. Разрушение каменных построек, искривление же­лезнодорожных рельсов
11	Катастрофа	Широкие трещины в земле. Многочисленные оползни и обвалы. Каменные дома совершенно разрушаются
12	Сильная катастрофа	Изменения в почве достигают огромных раз­меров. Многочисленные обвалы, оползни, трещи­ны. Возникновение водопадов, подпруд на озе­рах. Отклонение течения рек. Ни одно сооруже­ние не выдерживает

Таблица 2

Балл	Название ветра	Признаки
0	Штиль	Дым идет вертикально
1	Тихий	Дым идет слегка наклонно
2	Легкий	Ощущается лицом, шелестя г листья
3	Слабый	Развеваются флаги
4	Умеренный	Поднимается пыль
5	Свежий	Вызывает волны на воде
6	Сильный	Свистит в вантах, гудят провода
7	Крепкий	На волнах образуется пена
8	Очень крепкий	Трудно ищи прошв ветра
9	Шторм	Срывает черепицу
10	Сильный шторм	Вырывает деревья с корнем
11	Жестокий шторм	Большие разрушения
12	Ураган	Опустошительное действие

Таблица 3

Балл	Твердость
0	Меньше твердости талька
1	Равна твердости талька или больше твердости галька, но меньше твердости гипса
2	Равна твердости гипса или больше твердости гипса, но меньше твер­дости известкового шпата
3	Равна твердости известкового шпата или больше твердости известко­вого шпата, но меньше твердости плавикового шпата
4	Равна твердости плавиковою шпат или больше твердости плавикового шпата, на меньше твердости апатита
5	Равна твердости апатита или больше твердости апатита, но меньше твердости полевого шпата
6	Равна твердости полевого шпата или больше твердости полевого шпата, но меньше твердости кварца
7	Равна твердости кварца или больше твердости кварца, но меньше твердости топаза
8	Равна твердости топаза или больше твердости топаза, но меньше твердости корунда
9	Равна твердости корунда или больше твердости корунда, но меньше твердости алмаза
10	Равна твердости алмаза или больше твердости алмаза

При любом летоисчислении коренной перелом в ход второй мировой войны произошел под Сталинградом спустя 700 лет после разгрома Александром Невским немецких рыцарей Ливонского ордена на льду Чудского озера. Но если поставить вопрос о том, "во сколько раз" позже наступило это событие, то окажется, что по нашему григорианскому стилю в 1942/1242  1,56 раза, по юлианскому календарю, отсчитывающему время от "сотворения мира", — в 7448/6748  1,10 раза, по иудейскому, где время отсчитывается от "сотворения Адама", — в 5638/4938  1,14 раза, а по магометанскому летоисчислению, начатому с даты бегства Магомета из Мекки в священ­ный город Медину, где была основана первая мусульманская община, — в 1320/620  2,13 раза. Следовательно, сказать по шкале интервалов во сколько раз один размер больше друго­го нельзя. Это объясняется тем, что на шкале интервалов из­вестен масштаб, а начало отсчета может быть выбрано произ­вольно. Поэтому определить по шкале интервалов, чему равен тот или иной размер, невозможно.

Шкалы интервалов иногда получают путем пропорциональ­ного деления интервала между двумя реперными точками. Так, в температурной шкале Цельсия один градус является сотой частью интервала между температурой таяния льда, принимаемой за начало отсчета, и температурой кипения воды. В температурной шкале Реомюра этот же интервал разбит на 80 градусов, а в температурной шкале Фаренгейта — на 180 градусов, причем начало отсчета сдвинуто на 32° F в сто­рону низких температур. Соотношение между этими шкала­ми показано на рис. 3.

Если в качестве одной из двух реперных точек выбрать такую, в которой размер не принимается равным нулю, (что приводит к появлению отрицательных значений), а равен нулю на самом деле, то по такой шкале уже можно отсчитывать абсолютное значение размера и определять не только, на сколько один размер больше или меньше другого, но и во сколько раз он больше или меньше. Эта шкала называется шкалой отношений (4). Примером может служить температурная шкала Кельвина. В ней за начало отсчета принят абсолютный ноль температуры, при котором прекращается тепловое дви­жение молекул. Более низкой температуры быть не может. Второй реперной точкой служит температура таяния льда. По шкале Цельсия интервал между этими реперами равен 273,16 °С (см. рис. 3.). Поэтому на шкале Кельвина его делят на равные, части, составляющие 1/273,16 интервала. Каждая такая часть называется Кельвином и равна градусу Цельсия, что значительно облегчает переход от одной шкалы к другой.

Шкала отношений является наиболее совершенной из всех рассмотренных шкал. На ней определено наибольшее число математических операций: сложение, вычитание, умножение, деление. Но, к сожалению, построение шкалы отношений возможно не всегда. Время, например, может измеряться толь­ко по шкале интервалов.

В зависимости от того, на какие интервалы разбита шка­ла, один и тот же размер представляется no-разному. Напри­мер, 0,001 км; 1 м; 100 см; 1000 мм — четыре варианта представления одного и того же размера. Их называют значениями измеряемой величины. Таким образом, значение из­меряемой величины — это выражение ее размера в определен­ных единицах измерения. Входящее в него отвлеченное чис­ло называется числовым значением. Оно показывает, на сколько единиц измеряемый размер больше нуля или во сколько раз он больше единицы (измерения). Если 0,5 кг, 20 м, 8,12 руб., 6 баллов, 400 кормовых единиц, 100 т условного топлива — некоторые значения измеряемых величин, то фигу­рирующие в них отвлеченные числа — числовые значения этих величин. Таким образом, значение измеряемой величи­ны Q определяется ее числовым значением q и некоторым размером [Q], принятым за единицу измерения:

Q = q [Q]. (1)

Увеличение или уменьшение [Q] влечет за собой обратно про­порциональное изменение q. Поэтому значение, как и размер измеряемой величины, от выбора единиц измерения не зави­сит.

Словосочетания типа "размер длины" или "размер массы" в метрологии не применяются. Не говорят и "величина длины" или "величина массы", так как длина и масса сами являются величинами. Принято говорить просто длина, масса, время, скорость. Например, масса составляет (или равна) 3 кг, ско­рость 15 м/с.

1.5. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Числовые значения измеряемых величин зависят от того, какие используются единицы измерений. Поэтому роль пос­ледних очень велика. Если допустить произвол в выборе еди­ниц, то результаты измерений окажутся несопоставимы меж­ду собой, т.е. нарушится единство измерений. Чтобы этого не произошло, единицы измерений устанавливаются по опреде­ленным правилам и закрепляются законодательным путем. Наличие законодательной метрологии отличает эту науку от других естественных наук (математики, физики, химии и др.) и направлено на борьбу с произволом в выборе таких реше­ний, которые не диктуются объективными закономерностя­ми, а принимаются по соглашению,

Совокупность единиц измерений основных и производ­ных величин называется системой единиц. Не во всех облас­тях измерений системы единиц сформировались окончательно и закреплены соответствующими законодательными тактами. Наилучшим образом в этом отношении обстоят дела°в облас­ти измерения физических величин.

В физике общие правила конструирования систем единиц были сформулированы. Гауссом в 1832 г. Они сводятся к сле­дующему:

1) выбираются основные физические величины;

2) устанавливаются единицы основных физических вели­чин. Для этого какому-либо размеру каждой основной физи­ческой величины приписывается числовое значение, равное 1. Выбор этого размера является произвольным и определяется исключительно соображениями удобства его использования в обиходе. Для обеспечения единства измерений все эти раз­меры, называемые единицами основных физических величин, должны быть закреплены законодательным путем. Обычно их называют просто основными единицами;

3) устанавливаются единицы производных физических величин, также называемые обычно просто производными единицами.

Пусть, например, производная физическая величина Q образуется путем перемножения двух основных величин А и В. Тогда, согласно выражению (1), значение Q можно выразить через значения А и В :

q [Q] = a [A] b [B],

а производная единица может быть выражена через основные еди­ницы с помощью соотношения

[Q] = (a b / q) [A][в]

Если же производная величина Q образуется посредством деления основ­ных величин А и В, то

q [Q] = a [A] / b [B],

и производная единица выражается через основные следующим обра­зом:

[Q] = (a / q b) [A][в]^-1.

В общем случае производные единицы выражаются через основные с помощью степенного одночлена

[Q ] = k [A ]^ [ B]^ [...]^ ...,

где коэффициент пропорциональности k полагается безразмер­ным, , , , ... оказываются тогда уже известными показа­телями размерности. В последнее время к коэффициенту k стали предъявлять еще одно требование: он должен равнять­ся 1. Получаемые при этом условии так называемые коге­рентные или согласованные системы единиц являются наи­более простыми и удобными в обращении.

В 1832 г. Гауссом была разработана система единиц, наз­ванная им абсолютной, с основными, единицами — миллиметр, миллиграмм, секунда. В дальнейшем по мере развития науки и техники возникали все новые и новые системы, пока их обилие не стало тормозом научно-технического прогресса. В этих условиях XI Генеральная конференция по мерам и ве­сам в 1960 г. приняла Международную систему единиц физи­ческих величин, получившую у нас в стране сокращенное обоз­начение СИ (от начальных букв SI в словах Systeme Internatio­nal). Последующими Генеральными конференциями по мерам и весам в первоначальный вариант СИ внесены некоторые из­менения. В Советском Союзе и странах Восточной Европы Международная система единиц является обязательной с 1 января 1980 г.

Основными единицами Международной системы являются:

метр (международное обозначение m; русское — м) — единица длины, равная пути, проходимому в вакууме светом за 1/299792458 долю секунды (При таком определении метра, принятом XVII Генеральной кон­ференцией по мерам и весам в 1983 г., длина не может считаться основ­ной физической величиной, так как выражается через скорость и вре­мя. По всей вероятности за этим решением XVII Генеральной конфе­ренции по мерам и весам должно последовать изменение структуры Международной системы единиц.);

килограмм (международное обозначение kg; русское — кг) — единица массы, равная массе международного прото­типа килограмма;

секунда (международное обозначение s; русское — с) — единица времени, равная 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уров­нями основного состояния атома цезия-133;

ампер (международное обозначение А; русское — А) — единица силы электрического тока. Ампер равен силе не изменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтож­но малой площади кругового поперечного сечения, располо­женным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызы­вал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаи­модействия, равную 2 • 10^-7 Н;

кельвин (международное обозначение К; русское — К) — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды;

кандела (международное обозначение cd; русское— кд)— единица силы света. Кандела равна силе света в заданном на­правлении источника, испускающего монохроматическое излу­чение частотой 540 • 10¹² Гц, энергетическая сила света кото­рого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср;

моль (международное обозначение mol; русское—моль)— единица количества вещества. Моль равен количеству вещест­ва, содержащему столько же структурных элементов (ато­мов, молекул или других частиц), сколько атомов содержит­ся в 0,012 кг углерода-12.

Предусмотрены также две дополнительные - единицы:

радиан (международное обозначение rad; русское — рад) — единица плоского угла, равная внутреннему углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу;

стерадиан (международное обозначение sr; русское — ср) — единица телесного угла. Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхнос­ти этой сферы площадь, равную площади квадрата со сторо­ной, равной радиусу сферы.

Производные единицы СИ образуются из основных и дополнительных по правилам образования когерентных про­изводных единиц, т.е. связаны с ними соотношением

[Q]= м^ кг^с^ . . . .

Некоторым из них даны названия в честь великих ученых: ньютон, герц, паскаль, кулон, ом, сименс, тесла, беккерель и другие. Обозначения таких единиц, как международные, так и русские, пишутся с заглавной буквы.

Пример 2. Образовать производные единицы силы, давления, рабо­ты, мощности, электрических напряжения, сопротивления и проводи­мости.

Решение. 1. Так как dim F = LMT^-2 (см. 12), то [F] = м • кг • с^-2 . Эта единица называется ньютон (Н).

2. Давление р определяется силой, действующей при равномерной нагрузке на единицу поверхности. Поэтому dim р = L^-1МТ^-2 и, следо­вательно, [р] = м^-1 • кг •с^-2. Эта единица называется паскаль (Па) :

Па = м^-1• кг • с^-2 .

3. Работа А, совершаемая в направлении силы F, определяется по формуле: А = FL. Отсюда dim а = L² МТ^-2 , а [А] ⁼ м² • кг • с^-2 . Такая единица называется джоуль (Дж) :

Дж = м² . кг • с^-2 .

4. Мощность Р — это работа, совершаемая в единицу времени. Поэто­му dim p = L²MT^-3, а [Р] = м² • кг • с ^{– 3}. Эта единица называется ватт (Вт):

5. Если электрическое напряжение U определить через мощность Р и силу I постоянного электрического тока, то dim u = L²MT^-3I^-1 и [U] = м² • кг • с^{- 3} • А^-1. Единица электрического напряжения называ­ется вольт (В) :

В = м² . кг • с^-3 • А^-1.

6. На основании закона Ома dim r = L²MT^-3•I^-2 . Отсюда [R] = м² • кг • с^-3 • А^-2 . Эта единица называется ом (Ом) :

Ом = м² • кг • с ^-3 • А^-2.

7. Электрическая проводимость G — величина, обратная электри­ческому сопротивлению R. Поэтому dim g == L^-2 М^-1 'T³ l², a [G] = м ^-2 • кг^-1 • с³ • А² . Единица электрической проводимости называ­ется сименс (См) :

См = м^-2 . кг^-1 • с³• А² .

Десятичные кратные и дольные единицы образуются с помощью множителей и приставок, наименования, происхож­дение и обозначения которых приведены в табл. 4.

Таблица 4

Множитель	Приставка
	Наиме­нова­ние	Происхождение. Обозначение
		от какого слова	из какого языка	междуна-родное	русское
1	2	3	4	5	6
1000000000000000000 = 10^18	Экса	Шесть (раз по 10^3)	греч.	Е	Э
1000000000000000 = 10^15	Пета	Пять (раз по 10^3)	тоже	Р	п
1000000000000 = 10^12	Тера	Огромный	-	Т	т
1000000000 = 10^9	Гига	Гигант	-	G	г
1000000 = 10^6	Мега	Большой	-	М	М
1000 = 10^3	Кило	Тысяча	-	К	к
100 =10^2	Гекто	Сто	-	h	г
10=10^1	Дека	Десять	-	da	да
0,1 =10^-1	Деци	Десять	лат.	d	д
0,01 = 10^-2	Санти	Сто	то же	с	с
0.001 = 10^-^3	Милли	Тысяча	-	m	м
0,000001 == 10^-6	Микро	Малый	греч.		мк
0,0000000001 = 10^-9	Нано	Карлик	лат.	n	н
0,0000000000001 =10^-12	Пико	Пикколо (малень­кий)	итал.	Р	п
0,0000000000000001 = 10^-15	Фемто	Пятнадцать	дат.	f	ф
0.0000000000000000001 = 10^-18	Атто	Восемнадцать	то же	а	а

К наименованию единицы допускается присоединять толь­ко одну приставку (например, пикофарада, а не микромикро-фарада). У единиц, образованных как произведение или от­ношение нескольких единиц, приставку присоединяют, как правило, к наименованию первой единицы, например, килопаскаль — секунда на метр (кПа с/м), а не паскаль —килосекунда на метр. Кратные и дольные единицы выбирают обычно таким образом, чтобы числовое значение величины находилось в диапазоне от 0,1 до 1000 (например, для длины l = 7,5 Х 10^-5 м = 75 мкм = 0,075 мм =75000 нм следует выбрать 75 мкм, так как в других случаях числовое значение выходит за пределы указанного диапазона). От этого правила отступают только при составлении таблиц числовых значений одной и той же величины или при сопоставлении этих значений в од­ном тексте, а также в тех областях, где традиционно применя­ется конкретная единица (например, линейные размеры на машиностроительных чертежах всегда выражаются в милли­метрах) .