20. Лабораторна робота № 7

21. РОЗВ'ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Постановка задачі

Дано систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

Потрібно знайти її розв'язок, тобто таку сукупність значень невідомих x₁, x₂, …, x_n, яка при підстановці в дану систему перетворює всі рівняння в тотожності.

Завдання

Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь, задану в матричній формі А*Х=У, де А – матриця, в якій знаходяться коефіцієнти при невідомих, а матриця В – права частина рівнянь.

; .

Порядок виконання

1. Розв'язання методом Крамера.

Номер першого рядка (стовпця) матриці або першого компонента вектора, знаходиться у Mathcad у змінної ORIGIN. За замовчуванням в Mathcad координати векторів, стовпці й рядки матриці нумеруються починаючи з 0 (ORIGIN:=0). Оскільки в математичному записі частіше використається нумерація з 1, зручно перед початком роботи з матрицями визначати значення змінної ORIGIN рівним 1, виконувати команду ORIGIN:=1

Із матриці А створимо матриці А1, А2 та А3.

А1:=А А2:=А А3:=А.

У матрицях А1, А2 та А3 замінимо перший, другий та третій стовпчики відповідно на матрицю В.

А1^<1>:=B A2^<2>:=B A3^<3>:=B.

Знайдемо визначники матриць А, А1, А2, А3.

|A|=-119 |A1|=-11 |A2|=56 |A3|=-176.

За формулами Крамера обчислимо невідомі Х1, Х2 та Х3.

.

X1=0.092 X2=-0.471 X3=1.479.

2. Розв'язання методом Гаусса.

Для формування розширеної матриці системи D об’єднаємо матриці А та В за допомогою функції augment:

D:=augment(A,B)

.

Доведемо матрицю D до трикутного вигляду за допомогою функції rref:

C:=rref(D)

.

Виділимо розв'язок вихідної системи з матриці С:

X:=submatrix(C,1,3,4,4)

.

де функція submatrix(C,Iр,Jp,Ic,Jс) повертає частину матриці С, яка знаходиться між Iр, Jp рядками та Ic, Jс стовпцями.

3. Розв'язання матричним методом.

.

4. Розв'язання за допомогою функції lsolve.

.

5. Розв'язання за допомогою блока Given ... Find.

Для розв’язання систем може застосовуватися спеціальний обчислювальний блок, який складається з трьох частин, які йдуть послідовно один за другим:

• Given — ключове слово;

• система, яка записана логічними операторами у вигляді рівностей або можливо нерівностей;

• Find(x1,... ,хм) — вбудована функція для розв’язання системи відносно змінних х1,..., хм.

Вставляти логічні оператори треба, користуючись панеллю інструментів Boolean .

Для розв’язання системи лінійних рівнянь, цим методом, треба задати початкові наближення для змінних х1, х2, х3 рівні 0.

х1:=0 х2:=0 х3:=0

Given

х1-х2+3х3 = 5

-2х1+7х2+х3 = -2

4х1+8х2+5х3 = 4

.

2. Варіанти індивідуальних завдань

Вирішити систему лінійних рівнянь:

I варіант

II варіант

III варіант

IV варіант

Для I варіанта K=1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29.

Для II варіанта K=2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.

Для III варіанта K=3, 7, 11, 15, 19, 23, 27.

Для IV варіанта K=4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.

Де

22. Лабораторна робота № 8

23. РОЗВ'ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Постановка задачі

Будь-яке рівняння з одним невідомим може записуватись у вигляді

f(x) = 0.

Розв'язання даного рівняння полягає у знаходженні коренів, тобто тих значень х, що перетворюють рівняння в тотожність.

Завдання

Дано нелінійне рівняння

,

де а₀:=-2; а₁:=5; а₂:=3; а₃:=-1.

Необхідно:

1) побудувати графік функції y = f(x) і визначити наближені значення коренів рівняння за допомогою інструменту Zoom;

2) розв'язати рівняння за допомогою функції root;

3) розв'язати рівняння за допомогою функції polyroots;

4) розв'язати рівняння за допомогою розв'язувального блока Given ... Find.

Порядок виконання

1. Графічне розв'язання за допомогою інструменту Trace.

Запишемо коефіцієнти рівняння у вигляді матриці:

:

, а саме рівняння у вигляді .

Побудуємо графік функції у(х) на відрізку від -5 до 5 з кроком 0.5, та за допомогою пунктів контекстного меню Format/Grid Lines нанесемо лінії сітки.

З графіка можна побачити, що рівняння на цьому відрізку має три корені. Клацнувши по графіку правою кнопкою миші оберемо пункт меню Trace. Клацнувши лівою кнопкою миші по точці перетину графіка з віссю ОХ, одержимо початкове наближення кореня х1. Аналогічно одержимо початкове наближення коренів х2 та х3. Запишемо їх у вигляді:

x1:=-1.3816; x2:=0.85526; x2:=3.9474.

2. Розв'язання за допомогою функції root.

root(y(x1),x1)=-1.439;

root(y(x2),x2)=0.339;

root(y(x3),x3)=4.1.

2. Розв’язання за допомогою функції polyroots.

x:=polyroots(a)

.

4. Розв'язання за допомогою блока Given ... Find.

Given

= 0.

Find(x1)=-1.439.

Given

= 0.

Find(x2)=0.339.

Given

= 0.

Find(x3)=4.1.