9.3.2. Вычисление величин главных напряжений и определение положения главных площадок

Исследуем выражение для нормальных напряжений (9.14) на экстремум. Для этого возьмем частную производную от напряжения пои приравняем к нулю:

, (9.17)

где угол, который составляет нормаль к рассматриваемой площадке с положительным направлением осии при котором нормальное напряжениедостигает наибольшего значения для данной точки .

Выражение (9.17) представляет собой величину касательного напряжения в главной площадке . Таким образом, касательное напряжение в рассматриваемой площадке () равно нулю. Отсюда делаем вывод: площадка, нормаль к которой составляет уголс положительным направлением оси, является главной площадкой.

Приравнивая выражение в скобках формулы (9.17) нулю найдем тангенс двойного угла, определяющего наклон главных площадок:

. (9.18)

Выражение (9.18) дает два взаимно-перпендикулярных направления с углами наклона и, по которым действуют главные напряжения (Рис.9.12).

Для определения величин главных напряжений подставим формулу (9.14) . Выносяза скобку, получим:

. (а)

Рис.9.12

Из тригонометрии известно:

. (б)

Знак поставлен потому, что косинусы угловиимеют противоположные знаки. Подставляя (9.18) в (б) и (а), получим:

.

В этой формуле знак “плюс”соответствует максимальному главному напряжению, а“минус”минимальному. Таким образом, окончательно имеем:

.(9.19)

Из приведенного вывода следует, что при любых исходных напряжениях в данной точке существует параллелепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения.

Вернемся к формуле (9.18). Она дает два главных направления, но не указывает, в каком из них действует , а в каком. Для решения этого вопроса надо было бы исследовать знак второй производнойприи. Однако, можно решить эту задачу, используя выражения, аналогичные тем, которые применялись для определения направления главных осей инерции в разделе“Геометрические характеристики плоских фигур”:

. (9.20)

Здесь: угол, который следует отложить от положительного направления осидо нормали к площадки, в которой действует максимальное напряжение;угол, который следует отложить от положительного направления осидо нормали к площадки, в которой действует минимальное напряжение. Положительный угол следует откладывать против хода часовой стрелки, отрицательный – по ходу часовой стрелки.

Для контроля правильности определения положения главных площадок можно использовать еще один способ, приведенный в [2]. Исходя из того, что с поворотом площадки в направлении вектора касательных напряжений нормальное напряжение на площадке алгебраически возрастает, в работе[2]формулируется следующее правило:направление всегда проходит через две четверти осей координат, в которых стрелки касательных напряженийисходятся.