9.5.1. Понятие о тензоре и девиаторе тензора деформаций. Главные линейные деформации

Деформация любого элементарного параллелепипеда может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших деформаций (Рис.9.23). Всего составляющих деформации шесть: три линейных () и три угловых, сдвиговых (). Линейные составляющие представляют собой относительное удлинение ребер элементарного параллелепипеда, а индекс при обозначении деформаций показывает, параллельно какой оси имеет место это удлинение. Линейные деформации приводят к изменению объема и формы (например, переход от формы куба к форме параллелепипеда). Угловые деформации представляют собой сдвиг элементарного параллелепипеда по отношению к первоначальному положению. Положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительным направлением осей, отрицательному – увеличение этого угла.

Рис.9.23

Углы сдвига, проектируемые на плоскость ХY, обозначаются (или), на плоскостьYZ (или ) и на плоскостьZX(или). При этом угловые деформации попарно равны:;;. Таким образом, деформированное состояние, представляющее собой совокупность линейных и угловых деформаций для всевозможных положений осей координат, в общем случае может быть описано тензором деформаций:, включающий в себя девять компонентов: три относительные линейные деформациии шесть углов сдвига,,.

. (9.54)

Тензор деформаций можно разделить на шаровой тензор деформаций

. (9.55)

который характеризует объемную деформацию в точке, и на девиатор деформаций:

, (9.56)

который характеризует формоизменение в окрестности этой же точки.

Удлинение какого-либо отрезка, проходящего через данную точку, можно выразить через шесть компонент деформации той же точки

, (9.57)

где косинусы между направлением рассматриваемого отрезка и осями прямоугольных координат.

Можно утверждать, что в каждой точке (по аналогии с напряженным состоянием) тела существуют три взаимно перпендикулярных направления, называемые главными осями деформаций, которые обладают тем свойством, что материал по этим направлениям испытывает только линейные деформации, так как сдвиги при этом равны нулю.

Если подставить в (9.35) вместо компонент тензора напряжений компонениы деформаций, т.е. изменить на,наи т.д., то можно получить кубическое уравнение, определяющее главные линейные деформации: