Тема 8 плоске поперечне згинання. Розрахунок балок на міцність

8.1. Уявлення про чисте згинання. Основні визначення і гіпотези

При плоскому поперечному згинанні в елементі, виникають поперечна сила і згинальний момент. При цьому всі зовнішні навантаження розташовані у поздовжній площині симетрії елемента, зігнута вісь балки являє собою плоску криву.Чистим називається окремий випадок плоского поперечного згинання, при якому в поперечних перерізах елемента, що згинається, виникає тільки згинальний момент . Подібним чином, якщо знехтувати власною вагою, можуть згинатися окремі елементи колісної пари залізничного вагона, розрахункова схема якої наведена на рис.8.1.

Рис.8.1

Як видно з рис.8.1, на ділянці балки вс виникає чисте згинання. На епюрі поперечних сил на цій ділянці відсутня поперечна сила, на епюрі згинальних моментівдіє сталий момент.

Досліджуючи інтегральні залежності, наведені в Темі №1 даного посібника, можна дійти висновку, що нормальні напруження є функцією згинального моменту:

. (8.1)

Дотичні напруження є функцією поперечної сили:

. (8.2)

Таким чином, при чистому згинанні в поперечних перерізах виникають тільки нормальні напруження, що істотно спрощує вивід формули для нормальних напружень при згинанні. Як уже відзначалося раніше, інтегральні залежності між внутрішніми зусиллями і напруженнями у точці не дозволяють безпосередньо одержати з них вираз для напружень у кожній точці перерізіу. Необхідно знати закон розподілу цих напружень по перерізу. Умови рівноваги нам цього не дають, задача виявляється статично невизначуваною. У зв'язку з цим звернемося до експериментального дослідження деформації балки.

Розглянемо результати досліду з чистим згинанням балки парами сил, що розташовані у площині симетрії балки (Рис.8.2).

Рис.8.2

Проведемо до деформації на її бічній поверхні дві лінії і, перпендикулярні до осі балки, розташовані одна від одної на відстані. Між цими перерізіами проведемо лініїі, паралельні осі балки. До деформації.

Спостереження показують, що після деформації (Рис.8.2б):

 лінії ізалишилися прямими, але нахилилися одна до одної і утворили кут;

 відрізок скоротився, а відрізокподовжився;

 ширина балки в стиснутій зоні збільшилася, а у розтягнутій зменшилася (Рис.8.2,в).

Здійсненні експериментальні спостереження дозволяють зробити наступні висновки про характер деформацій балки при чистому згинанні. З огляду та те, що лінії і, які являють собою сліди двох суміжних поперечних перерізів балки на її поверхні, після деформації залишилися прямими, можна припустити, що відповідніпоперечні перерізи балки залишилися плоскими і лише повернулися один до одного на кут .

Судячи зі зміни довжини відрізків і, можна зробити висновок, що (при додатному) верхні волокна стиснуті, а нижні розтягнуті. З огляду на те, що деформації волокон змінюються неперервно, на якомусь рівні за висотою балки знаходиться шар волокон, який не змінив своєї довжини, так званийнейтральний шар. Відрізок , що належить нейтральному шарові, зберіг вихідну довжину.

В розглянутій балці поперечний переріз симетричний відносно площини зовнішніх сил. Тому обидві її половини деформуються симетрично відносно цієї площини. Це дозволяє зробити припущення, що деформація волокон будь-якого шару, паралельного нейтральному, не залежить від їх положення по ширині балки.

Нейтральний шар перпендикулярний до площини симетрії балки і перерізає площину кожного поперечного перерізу балки по прямій, яка називається нейтральною лінією перерізу. Ця лінія також перпендикулярна до площини симетрії балки.

Повороти перерізів відбуваються навколо їх нейтральних ліній, зображених на рис.8.2 точками і. Якби поворот перерізів відбувався не біля ліній, що лежать у нейтральному шарі, то відрізокне міг би зберегти своєї первісної довжини.

З огляду на те, що перерізи повертаються навколо нейтральних ліній, перпендикулярних до площини дії сил, точки цієї площини залишаться в ній і після деформації; отже, вісь балки залишається в площині дії сил у вигляді плоскої кривої. Згинання, при якому вісь балки після деформації залишається в площині дії зовнішніх сил, називається плоским згинанням.

Деформації балки в напрямку її ширини показують, що волокна її зазнають звичайне розтягання і стискання, при якому має місце явище, що враховується коефіцієнтом Пуассона: у стиснутій зоні ширина перерізу балки збільшується, у розтягнутій – зменшується (Рис.8.2,в).

Експериментальні дослідження згинання балок дають підстави для ряду гіпотез:

1. При чистому згинанні, поперечні перерізи, що були плоскими до деформації, залишаються плоскими і під час деформації (гіпотеза плоских перерізів).

2. Поздовжні волокна одне на одного не тиснуть і, отже, під дією нормальних напружень зазнають просте лінійне розтягання і стискання.

3. Деформації волокон не залежать від їх положення по ширині перерізу. Отже, і нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються по ширині однаковими.

Крім цих гіпотез варто ввести кілька обмежень:

1. Балка має хоча б одну площину симетрії, і всі зовнішні сили лежать у цій площині.

2. Матеріал балки підкоряється закону Гука, причому модуль пружності при розтяганні і стисканні залишається однаковим.

3. Співвідношення між розмірами балки такі, що вона працює в умовах плоского згинання без короблення або скручування.

Наведені вище гіпотези у звичайних випадках згинання правильні тільки приблизно. Однак похибки теорії, що випливають з них, такі незначні, що ними можна нехтувати.