14.4. Розрахунок товстостінних циліндрів

Циліндр вважається товстостінним, якщо товщина його стінки перевершує одну десяту середнього радіуса. При розрахунку тонкостінних безмоментних оболонок вводилося припущення про рівномірність розподілу нормальних напружень по товщині стінки. Таке припущення мало позначається на точності розрахунку.

При розрахунку товстостінних циліндрів таке припущення призвело б до занадто великої похибки. Розрахунок таких циліндрів був виконаний французським вченим Г.Ламе і російским вченим А.В.Гадоліним у 18521854 роках. Роботи А.В.Гадоліна в галузі розрахунку криволінійних стержнів у застосуванні до розрахунку міцності гарматних стволів створили йому світову популярність. Результати його досліджень дотепер використовуються при проектуванні і виготовленні гарматних стволів.

Розглянемо циліндр з внутрішнім радіусом і зовнішнім, що зазнає внутрішнього тискуі зовнішнього тиску(Рис.14.14,а).

Рис.14.14

Сформулюємо кілька обмежень, що спрощують розв’язок задачі:

1. Циліндр має правильний незмінний коловий переріз і не має днища.

2. Навантаження, прикладене до циліндра, є радіальним і рівномірно розподіленим як по внутрішній поверхні циліндра, так і по зовнішній.

При зроблених обмеженнях можна висловити наступні твердження щодо характеру деформації:

1. Кругова форма циліндра зберігається.

2. Усі точки поперечного перерізу мають у своїй площині тільки радіальні переміщення.

3. Точки, що знаходилися до деформації на одній циліндричній поверхні, будуть і після деформації знаходитися на тій самій циліндричній поверхні.

При відсутності поздовжніх зусиль і відсутності днища поздовжні напруження не виникають. Тому весь циліндр буде знаходитися в тому самому напруженому стані, що і кільце одиничної товщини, вирізане з циліндра двома перерізами, перпендикулярними до осі циліндра (Рис.14.14,а). Виділимо в цьому кільці елемент АВСD двома площинами, що проходять через вісь циліндра і утворюють між собою кут (Рис.14.14,б), і двома співвісними циліндричними поверхнями з радіусамиі(Рис.14.14,б). Нормальні напруження на плоских гранях (колові напруження) позначимо. Радіальні напруження, що діють на внутрішній поверхні виділеного елемента позначимо. Радіальні напруження, що діють на зовнішній поверхні, на радіусіодержать збільшення і дорівнюватимуть.

Встановимо напружений стан, у якому перебуває елемент АВСD. Внаслідок осьової симетрії циліндра і навантажень виділений елемент перекошуватися не буде і дотичні напруження на гранях елемента будуть відсутні. На гранях елемента будуть діяти тільки розтягальні нормальні напруження, показані на рис.14.14,в. З огляду на це і через відсутність нормальних напружень уздовж осі циліндра, елемент АВСD буде перебувати в плоскому напруженому стані. При цьому колові і радіальні напруження ібудуть головними напруженнями.

Розглянемо рівновагу виділеного елемента АВСD [3]. Обчислимо сили, що діють на гранях елемента, і спроектуємо їх на осі та. Завдяки тому, що всі сили лежать в одній площині і перетинаються в одній точці, для рівноваги елемента суми їх проекцій на дві взаємно перпендикулярні осі мають дорівнювати нулю. Внаслідок симетрії елемента сума проекцій усіх сил на вісьзадовольняється тотожно. Складемо суму проекцій усіх сил на вісь:

.

Розкриваємо дужки, одержуємо:

.

Внаслідок малості кута приймаємо. Відкидаючи член другого порядку малостіі поділяючи члени, що залишилися, на, одержимо диференціальне рівняння рівноваги для виділеного елемента АВСD:

. (14.17)

У рівнянні (14.17) є два невідомих напруження і. Задача виявляється статично невизначуваною. Для її вирішення розглянемо деформацію елемента АВСD (Рис.14.15).

Позначимо радіальне переміщення циліндричної поверхні радіуса через, тоді переміщення циліндричної поверхнібуде. На величиніелемент АВСD подовжиться на . Відносне подовження в радіальному напрямку дорівнюватиме:

. (14.18)

Рис.14.15

Знайдемо відносне подовження в коловому напрямку. Довжина елемента АВСD по колу радіуса після його збільшення на величинудорівнюватиме. Абсолютне подовження елемента на радіусів коловому напрямку дорівнює:

.

Відносне подовження знайдемо, розділивши приріст довжини елемента на її первісну довжину:

. (14.19)

Обидві відносні деформації іє функціями того самого параметра, яке є радіальним переміщенням циліндричної поверхні радіуса. З'явилася можливість виразити колові і радіальні напруження через цей єдиний параметр, підставити отримані вирази в диференціальну умову рівноваги (14.17) і вирішити його відносно параметра.

Для цього скористаємося узагальненим законом Гука, виражаючи з нього колові і радіальні напруження через відповідні відносні деформації:

(14.20)

(14.21)

Підставимо вирази (14.20) і (14.21) у формулу (14.17) і продиференціюємо його, попередньо скоротивши на загальний множник :

.

Розділивши на всі члени останнього виразу, остаточно одержимо:

. (14.22)

Рівняння (14.22) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з змінними коефіцієнтами (рівняння Ейлера). Вирішення цього рівняння запишемо у вигляді:

. (14.23)

Перевіримо це вирішення підстановкою у рівняння (14.22):

.

Підставимо вираз (14.23) у рівняння для напружень (14.20), (14.21), одержимо:

; (14.24)

. (14.25)

Сталі величини тазнайдемо з тієї умови, що на внутрішній поверхні циліндра (при) колові напруженнядорівнюють внутрішньому тискові, тобто, а на зовнішній поверхні циліндра (при) зовнішньому тискові .

Підставляючи у рівняння (14.24) величину радіального напруження приі, одержуємо:

; (14.26)

. (14.27)