Тема 2 внутренние силовые факторы изгиба

2.1.Плоский поперечный изгиб. Поперечная сила и изгибающий момент

Плоский поперечный изгиб испытывают такие стержневые конструкции как балки и рамы. Одним из необходимых условий возникновения плоского поперечного изгиба является наличие у поперечного сечения изгибаемой конструкции плоскости симметрии. В том случае, если все внешние силы лежат в плоскости симметрии или равнодействующая внешних сил лежит в плоскости симметрии, изгиб будет плоским, изогнутая ось изгибаемого элемента остается плоской кривой, лежащей в плоскости симметрии, совпадающей с силовой плоскостью. Такой вид изгиба считается простым видом деформации. Если при этом в поперечных сечениях изгибаемого элемента возникают такие внутренние силовые факторы как поперечная сила и изгибающий момент, то такой изгиб называется плоским поперечным изгибом.

Таким образом, при плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях изгибаемого элемента возникают только поперечная сила и изгибающий момент.

Примем в качестве изгибаемого элемента балку (Рис.2.1).

Рис.2.1

Рассечем балку произвольным сечением в пределах второго участка (Рис.2.2) и применим следствие из метода сечений, в соответствии с которым,главный вектор и главный момент всех внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении на оставшуюся часть балки, равны соответственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил, приложенных к отброшенной части.

Рис.2.2

Тогда поперечная сила в сечение будет равна:

. (2.1)

Поперечная сила, представляющая проекцию главного вектора всех внутренних сил, приложенных к оставшейся части тела, численно равняется алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, на нормаль к продольной оси балки. В данном случае мы рассматривали правую часть тела в качестве оставшейся, а левую  в качестве отброшенной. Для практических расчетов значения не имеет, какую часть тела принимать в качестве оставшейся, а какую  в качестве отброшенной, так как действующая в сечении поперечная сила (Рис.2.2), характеризующая влияние отброшенной части на оставшуюся и оставшейся на отброшенную, в силу третьего закона Ньютона равны по величине. Это же относится и к изгибающему моменту. Подобный подход позволяет определять величины поперечной силы и изгибающего момента с разных сторон балки, что в ряде случаев существенно упрощает решение.

Знак поперечной силы принимается положительным, если слева от сечения поперечная сила действует вверх или справа от сечения действует вниз. В противном случае поперечная сила считается отрицательной. Это правило иллюстрируется на мнемосхеме, изображенной на рис. 2.3.

Рис.2.3

Изгибающий момент в сечении в соответствии со следствием из метода сечений, изложенным выше, представляет собой главный момент всех внутренних сил, приложенных к оставшейся части балки, численно равный алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести этого сечения.

. (2.2)

Изгибающий момент считается положительным, если слева от сечения он действует по часовой стрелке или справа  против. В противном случае изгибающий момент считается отрицательным (Рис.2.4).

Рис.2.4

Предложенное правило знаков для изгибающего момента носит кинематический признак. Т.е. в соответствии с этим признаком можно судить о знаке изгибающего момента по направлению вращения сечения. Кроме этого признака можно использовать геометрический признак при определении знака изгибающего момента. В соответствии с этим признаком о знаке изгибающего момента судят по поведению изогнутой оси балки. Если балка изгибается выпуклостью вниз, считают, что изгибающий момент, действующий в сечении, является положительным. Если балка изгибается выпуклостью вверх, то изгибающий момент считается отрицательным. Это правило получило название правила зонтика: если вода собирается в зонтике  изгибающий момент считается положительным; если вода стекает вниз по поверхности зонтика  изгибающий момент считается отрицательным.

При расчете изгибаемых стержневых систем, в частности, балок обычно строят эпюры распределения внутренних силовых факторов по длине балки. Это делается с целью установления опасного сечения, в котором внутренние силовые факторы могут достигать экстремальных значений. Рассмотрим несколько примеров построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Пример 2.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изображенной на рис. 2.5а балки.

Рис.2.5

Решение:

1. Из условия равновесия определяем опорные реакции: ;.

2. Рассекаем балку в произвольном сечении и составляем уравнение для поперечной силы:

. (2.3)

Выражение (2.3) представляет закон изменения поперечной силы в пределах балки. Из него следует, что поперечная сила не зависит от продольной координаты . Прии . Следовательно, поперечная сила в пределах балки будет постоянной (Рис.2.5,б).

3. Составляем уравнение для изгибающего момента:

. (2.4)

Выражение (2.4) представляет закон изменения изгибающего момента от продольной координаты . При ; при 0. Изгибающий момент меняется по длине балки по линейному закону (Рис.2.5в).

Анализируя построенные эпюры, приходим к выводу, что опасным является сечение балки А, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент .

Пример 2.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изображенной на рис. 2.6,а балки.

Рис. 2.6

Решение:

1. Из условия равновесия определяем опорные реакции: .

2. Рассекаем балку в произвольном сечении и составляем уравнение для поперечной силы:

. (2.5)

Выражение (2.5) представляет собой закон изменения поперечной силы по длине балки, из которого следует, что поперечная сила является линейной функцией продольной координаты . При ; при . Эпюра для поперечной силы представлена на рис. 2.6,б.

3. Составляем уравнение для изгибающего момента:

. (2.6)

Из выражения (2.6) следует, что изгибающий момент является квадратичной функцией продольной координаты . При изгибающий момент 0; при ; при изгибающий момент 0. Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 2.6,в.

Анализируя построенные эпюры, приходим к выводу, что опасным является сечение посредине балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент .

Пример 2.3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.7,а. Преобразуем расчетную схему балки, изображенную на рис.2.6,а. Для этого заменим распределенную нагрузку интенсивности равнодействующейи приложим эту равнодействующую посредине балки.

Рис.2.7

Решение:

1. Из условия равновесия определяем опорные реакции: . Как и следовало ожидать, опорные реакции остались по величине прежними.

2. Разобьем балку на участки.

3. Рассечем балку на первом участке сечением и запишем уравнение для поперечной силы:

. (2.7)

Из уравнения (2.7) следует, что поперечная сила от продольной координаты не зависит и является постоянной на первом участке балки. При и .

4. Уравнение для изгибающих моментов на первом участке запишем в виде:

. (2.8)

Из уравнения (2.8) следует, что изгибающий момент на первом участке балки является линейной функцией продольной координаты . При 0; при .

5. Для построения эпюр ина втором участке поместим начало координат в точку В. Поперечная сила на втором участке будет равна:

. (2.9)

Из уравнения (2.9) следует, что поперечная сила от продольной координаты не зависит и является постоянной на первом участке балки. При и .

Уравнение для изгибающих моментов на втором участке принимает вид:

. (2.10)

Из уравнения (2.10) следует, что изгибающий момент на втором участке балки является линейной функцией продольной координаты . При 0; при . Эпюры для поперечной силы и для изгибающего момента изображены на рис.2.7,б и 2.7,в.

Анализируя эпюры и, представленные на рис. 2.8, и сравнивая их с соответствующими эпюрами, построенными для изгибаемой балки в примере 2.2, можно сделать следующие выводы:

1. При замене равнодействующей нагрузки сосредоточенной силой изменился характер распределения внутренних силовых факторов по длине балки.

2. Величина максимального изгибающего момента в примере 2.3 оказалась в два раза больше величины максимального изгибающего момента в примере 2.4.

Таким образом, при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов нельзя заменять распределенную нагрузку сосредоточенной силой. Такая замена может привести к серьезным неточностям при определении расчетных значений внутренних силовых факторов.

Пример 2.4. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изображенной на рис. 2.8,а балки.

Рис.2.8

Решение:

1. Из условия равновесия определяем опорные реакции: ;.

2. Поперечная сила на всем протяжении длины балки равна нулю: .

3. Изгибающий момент на первом участке . На втором участке изгибающий момент найдем справа:. Изгибающий момент на каждом из участков от продольной координаты не зависит. Следовательно, изгибающий момент на каждом из участков балки будет величиной постоянной. Эпюра изгибающих моментов изображена на рис 2.8,б.

Пример 2.5. Написать выражения для поперечной силы и изгибающего моментав сечениидля балки, изображенной на рис.2.9.

Решение:

1. Уравнение для поперечной силы имеет вид:

Рис.2.9

2. Уравнение для изгибающего момента принимает вид:

В примерах 2.12.5 применялся метод построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов “по уравнениям”. Анализируя эпюры и, построенные для балок в примерах 2.12.4, можно сформулировать два следствия о скачках:

1. Если на балку в каком-либо сечении действует сосредоточенная сила, то на эпюре поперечных сил в этом сечении наблюдается скачок на величину этой силы в направлении ее действия при построении эпюры слева направо. На эпюре изгибающих моментов в этом сечении наблюдается излом.

2. Если на балку в каком-либо сечении действует сосредоточенная пара сил, то на эпюре изгибающих моментов в этом сечении наблюдается скачок на величину момента этой пары. На эпюре поперечных сил в этом сечении никаких изменений не наблюдается.