9.4. Визначення переміщень в балках методом початкових параметрів

Цей метод визначення переміщень в балках відноситься також до аналітичних методів. При використанні методу безпосереднього інтегрування пружної лінії балки нам було необхідно визначати сталі ітрегрування та. При наявності однієї ділянки таких сталих є дві. Зі зростанням кількості ділянок кількість сталих інтегрування зростає вдвічі. Так, якщо балка за умови навантаження маєділянок, то інтегрування диференціальних рівнянь для усіх ділянок балки даєдовільних сталих. З граничних умов обпиранння балки можна знайти тільки 2 сталі інтегрування. Іншісталих доводиться визначати з умови неперервного та плавного сполучення для всіх ділянок пружної лінії. Як результат ми отримаємо систему рівнянь ступеню, розв’зання якої вже призавдає значні ускладнення, враховуючи процедуру складання додаткових рівнянь сумісності деформацій. Ця громіздка та копітка робота робить метод безпосереднього інтегрування практично непридатним для розрахунку балок с великою кількістю ділянок.

Проте існує можливість розв’язання таких задач шляхом зведення всіх сталих інтегрування до двох незлежно від кількості ділянок. Цей метод отримав назву методу початкових параметрів. Розробили цей метод такі вчені, як Пузиревський Н.П., Куліковський П.Г., Снітко Н.К., Безухов Н.І., Уманський О.О. та ін.

У відповідності до цього методу зведення всіх сталих інтегрування до двох – прогину та кута повороту на початку координат – при будь-якій кількості ділянок стало можливим при виконанні наступних умов:

1. Початок координат слід вибирати в крайній лівій (або правій) точці балки, що розглядається, та робити його загальним для всіх ділянок балки.

2. Вираз для згинального моменту складати, обчислюючи моменти сил, що розташовані з одного боку від перерізу, що розглядається, з боку початку координат.

3. При включенні в рівняння зовнішнього зосережденого моменту його слід множити на множник, що дорівнює одиниці, де абсциса точки, де прикладений момент .

4. У разі обривання розподіленого навантаження його продовжують до пререрізу, що розглядається, а для відновлення дійсних вантажних умов вводять “компенсувальне” навантаження зворотного напряму.

5. Інтегрування рівнянь на всіх ділянках слід виконувати, не розкриваючи дужок.

Розглянемо балку (Рис.9.13), яка навантажена групою сил. Початок координат розташуємо на лівому кінці балки у точці .

Рис.9.13

Балка навантажена зосередженим моментом з абсцисою, зосередженою силоюу перерізі з абсцисоюі навантаженням, розподіленим за законом трапеції від перерізу з абсцисоюдо перерізу з абсцисою, інтенсивністю:

,

де  тангенс кута нахилу дотичної до епюри навантаження.

Складемо рівняння згинальних моментів для крайньої п’ятої ділянки:

, (9.11)

Досліджуючи рис.9.13, переконуємося у тому, що з рівняння (9.11) згинальний момент на IV ділянці можна дістати шляхом викреслення членів, що з’являються лише на V ділянці:

. (9.12)

Інші члени, що входять в рівняння (9.12), залишаються тими самими. Слід відзначити, що коефіцієнти ,,,….,, що входять у рівняння згинальних моментів, можуть бути тільки додатними величинами. Якщо виявиться, що коефіцієнт, це означає, що відповідне навантаження розташоване справа наліво від перерізу, що розглядується. Таке навантаження відкидається.

Складемо диференціальне рівняння пружної лінії на ділянці V:

. (9.13)

Інтегруючи вперше обидві частини рівняння (9.13), не розкриваючи дужок, отримаємо:

. (9.14)

Інтегруючи вдруге, маємо:

(9.15)

Диференціальне рівняння на IV ділянці набуває вигляду:

. (9.16)

Проінтегруємо це рівняння двічі, отримаємо:

. (9.17)

. (9.18)

Обчислимо тепер кут повороту перерізу , що знаходиться на стику ділянок IV та V. З умови плавного сполучення ділянок маємо:

. (9.19)

Звідки: .

Поклавши у рівняннях (9.19) и (9.15), з умови безперервного сполучення ділянокзнаходимо:

.

Виконавши аналогічні операції для решти ділянок, отримаємо:

;

.

Визначимо геометричний зміст сталих інтегрування. Для цього знайдемо кут повороту та прогин на початку координат при . Цей переріз належить першій ділянці. Складемо рівняння кутів повороту та прогинів для першої ділянки, викреслюючи в рівняннях (9.14) і (9.15) складові, які враховують навантаження, що прикладені на II – V ділянках:

; (9.20)

. (9.21)