2. Математична модель і алгоритм

Обємне електричне поле в електроліті (поле потенціалу U) в катодній камері є плоскопаралельним (див. опис програми FЕL), тому його формально можна описати рівнянням Лапласа в прямокутній декартовій системі координат

, (3)

з граничними умовами на межі ячейки (відсутність струму через контур )

; . (4)

Значення потенціалів електродів задані як константи. На лінії катода прийнятий потенціал U_К=0, а на лінії щілини-анода заданий потенціал U_А=(U₀ – Е_Р) – різниця між напругою на ячейці U₀ та термодинамічним значенням напруги розкладу електроліту Е_Р.

Поляризаційна характеристика катодного процесу в електроліті задана в найпростішій формі параболи , для якої коефіцієнти можна підібрати апроксимацією експериментальних поляризаційних кривих. Аналогічним способом задана залежність виходу за струмом від густини струму:.

Рівняння Лапласа (3) вирішується на квадратній сіті, утвореній системою з’єднаних між собою опорів R (рис. 2). Сіть має розмір 5121 вузлів і моделює двовимірну (плоску) робочу область катодної камери. Розмір однієї квадратної клітинки сіті dx=dy= (позначення D) задають, тому через цю величину можна задавати габаритні розміри ячейки, L=50, H=20. При різних розмірах ячейки співвідношення між сторонами ячейки 10042 зберігається. Камера має стандартний розмір при =D=0.2 см.

Рис.2. Схема будови сіткової моделі катодної камери щілинної ячейки

Опір електроліту в одному дискретному елементі сіті h (h-висота шару електроліту) визначається як функція питомого опору електроліту :

. (5)

Рівняння Лапласа (3) в різницевій формі для чотирьох найближчих вузлів, позначених на рис. 2 окремими точками, зводиться до співвідношення

, (6)

де U _I,J – потенціал окремого вузла з координатами i,j (номером рядка та стовпця) на сіті.

Рівняння (6) дійсне лише для внутрішніх симетричних вузлів, оточених однаковими опорами R. На лінії і=20 вузли несиметричні, бо опір на ділянках і= 20-21 складається з двох частин – опору електроліту R і поляризаційного опору R_П. Тому рівняння для розрахунку потенціалів на лінії і=20 (U_20,J) одержують, вирішуючи відносно U_20,J те ж саме рівняння Кірхгофа (різницева форма рівняння Лапласа), але з урахуванням додаткового опору R_П:

, (7)

Густина струму уздовж катода у вузлах лінії і=21 підраховується через значення останнього доданка в (7), який означає струм однієї ділянки сіті між лініями і=20 та і=21 :

, . (8)

Значення питомого поляризаційного опору r_П=/і в загальному випадку нелінійної поляризаційної характеристики є змінною величиною, яка залежить від густини струму.

Алгоритм вирішення задачі в програмі ітераційний , і складається з таких частин.

1. Спочатку програма записує довільні значення потенціалів у всіх вузлах, зайнятих електролітом (U=0.5U₀), значення U_К=0 на лінії і=21 та значення U_1,J =U₀ у трьох перших вузлах лінії і=1, які моделюють щілину-анод.

2 - Далі в ітераційному циклі повторюються такі операції:

А) перераховуються потенціали у всіх внутрішніх вузлах і=2…19, j=2…50, за рівнянням (5);

Б) перераховуються потенціали на лінії і=20 за рівнянням (6);

В) підраховуються густини струмів у вузлах лінії катода і=21 за формулою (8);

Г) перераховуються значення поляризаційних опорів у всіх вузлах лінії і=21, r_П=(/і);

В) перераховуються потенціали на трьох лініях контуру катодної камери (крім катода і трьох вузлів анода) у відповідності з граничними умовами (4), наприклад для лівoї межі i,j=1 (потенціалам вузлів на лівій лінії контура i,j=1 присвоюють значення потенціалів вузлів на лінії i,j=2).

3- Перевіряється сходження ітераційного процесу за величиною різниці між струмами анода і катода. Ітераційний процес закінчується, коли її значення на двох чергових ітераційних кроках досягає заданого нижнього рівня помилки.. Якщо цей рівень не досягаться, кількість ітерацій дорівнює максимальному значенню (9000). Ітераційний процес можна зупинити достроково, командою (клавішею) “ENTER”.

Після закінчення ітерацій програма визначає локальні значення густини струму у вузлах і будує графічне зображення поля.

Розрахунки виконуються двома етапами. На першому етапі програма знаходить первинне поле і його характеристики (виводить перший графічний екран, після його аналізу – продовжити роботу клавішею “ENTER”), потім вторинне поле ( другий графічний екран) і заключні характеристики і параметри.