Програма LPL

Mоделювання електричного поля в прямокутній ячейці з тонкими плоскопаралельними електродами

Програма lpl

Mоделювання електричного поля в прямокутній ячейці

З тонкими плоскопаралельними електродами

1. Обєкт і мета розрахунків

1. Ф

   Рис. 1. Геометричні характеристики елемента з тонкими плоскопаралельними електродами. А,К – умовні позначення струмопідводів анода і катода.

   ізичний обєкт, який моделюється – проста електрохімічна ячейка (елемент) з електродами прямокутної форми, з довільно обраним габаритним розміром GН (Н-розмір по горизонталі, G-по вертикалі), малою міжелектродною відстанню d і малою товщиною електродів: d, h^А, h^К  Н, G (рис. 1).

Матеріал обох електродів має однаковий питомий опір _М, електроліт – питомий опір _Е. Поляризаційні характеристиками обох електродів задаються лінійними, що означає постійні значення поляризаційних опорів обох електродів. Для спрощення поляризаційні опори прийняті однаковими, r^A = r^K = const.

Струм можна підводити до кожного з електродів окремими струмопідводами, які мають нульовий опір. Струмопідводи на обох електродах можуть бути розташовані на будь-якій з чотирьох сторін (нумерація за годинниковою стрілкрю) 1-4, і мають довільну ширину, яка проте не може перевищувати ширину сторони, на якій він розташований (рис.1.в)

Мета роботи - вивчення макрокінетичних закономірностей нерівномірного розподілу локальної густини струму по поверхні електродів (елемента), , і аналіз впливу на ступінь неоднорідності розмірів і форми ячейки (H,G), товщини електродів h, розташування і розмірів струмопідводів, поляризаційних опорів, опору електроліту.

Проблема неоднорідності розподілу густини струму на поверхні електродів виникає в проектуванні великогабаритних електрохімічних пристроїв. Причина неоднорідності полягає в тому, що через наявність падіння напруги на омічному опорі електродів ділянки, розташовані поблизу струмовиводів, працюють в кращих умовах у порівнянні з ділянками, віддаленими від них. В елементі, зображеному на рис.1б, густина струму і₁ буде більшою, ніж і₂, бо траєкторія руху зарядів коротша, а ефективний електричний опір - менший

Моделювання дозволяє точно виявити на поверхні електродів розташування зон, де густина струму мала, і спроектувати елемент таким чином, обираючи його геометричні розміри, електродні матеріали, їх питомий опір і товщини, розташування струмопідводів, щоб ступінь неоднорідності розподілу густини струму була мінімально можливою (або точніше – не перевищувала заданий рівень).

2. Програма LPL розраховує розподіл густини струму на поверхні електродів. Графічний результат - зображення електричного поля системою ізоліній однакової густини струму (i=const). Кількість ізоліній обирають довільно.

В окремий файл REZ.REZ виводяться числові результати – загальний струм ячейки (інтеграл по поверхні ячейки), мінімальне і_MIN i максимальне i_MAX значення густини струму, ступінь нерівномірності розподілу густини струму , розподіл енергетичних потоків (сумарний, втрати на поляризаційних опорах, в електроліті, в самих електродах). Деякі важливі параметри виводяться на екран термінала одночасно з рисунком поля.

Математична модель і алгоритм

Поле електричних потенціалів U(x,y), V(x,y) кожного з двох електродів описує рівняння Пуассона (умовні індекси А-анод, К-катод)

, , (1)

де і- локальна густина струму в точці з координатами (x,y), U,V – електричні потенціали електродів в цій же точці.

Це рівняння має таку ж ліву частину, як і рівняння Лапласа (див. опис програми FEL), але відрізняється від нього ненульовою правою частиною.

Граничні умови: задані потенціали на струмопідводах електродів (U₀=const, V₀=0 – значення, від якого ведуть підрахунки потенціалів в інших точках ), (U₀-V₀ ) = U₀ – напруга елемента. На всіх чотирьох лініях вільного контура обох електродів (за межами струмопідводу) – відсутній електронний струм через контур:

, ,,. (2)

Локальна (мікрокінетична) вольт-амперна характеристика елемента визначається рівнянням балансу потенціалів в точці з координатами x,y:

, (3)

де E- ерс елемента (або напруга розкладу для електролізера); U₀ - задана напруга на ячейку, яка чисельно співпадає з потенціалом струмопідводу одного електрода; V₀=0 – потенціал струмопідводу другого електрода, прийнятий за нуль; U_X,Y, V _X,Y – потенціали першого і другого електродів в точці з координатами x,y.

В електроліті, який має геометричну форму тонкого шару (міжелектродна відстань d), електричне поле визначається лише рівнянням (3) , і його характеристикою є лише густина струму i(x,y). Вона підраховується з рівняння (3) як функція потенціалів обох електродів в точках з координатами (x,y):

, (4)

Рівняння Пуассона (1) вирішуються ітераційним методом [1]. Для цього площину GH умовно розділяють вертикальними і горизонтальними лініями на квадратні ділянки з розміром  (рис. 2а). Для кожного з електродів утворюється прямокутна сіть, яка є системою з’єднаних між собою опорів R. Опір одного дискретного елемента сіті дорівнює опору квадратної ділянки електрода розміром h і визначається як

. (5)

Сіть має змінний розмір GH (вхідні константи) і відповідно до цього – змінну кількість вузлів N_X,N_Y38. Значення розміру одного квадратного фрагмента сіті дорівнює dx=dy== H/37 .

Для одиничного елемента сіті з геометричними координатми x,y (два вузли в паралельних сітях, з однаковими номерами горизонтальних і вертикальних ліній i,j), показаного на рис. 2б, ітераційні формули можна одержати, перетворюючи рівняння Пуассона (1) до різницевої (дискретної) форми:

, , (6)

Ці формули можна одержати також іншим шляхом – використовуючи рівняння Кірхгофа, яке є математичним виразом закону збереження кількості електрики:

, . (7)

а б

Рис.2. Структура сіткової моделі електрохімічної ячейки з плоскопаралельними електродами (а). Одиничний елемент моделі (б) складається із двох центральних зв’язаних вузлів з координатами i,j, що належать протилежним електродам, і чотирьох найближчих опорів з кожної електродної сіті . Напрямки струмів (стрілки) вказані умовно. Кількість вузлів по горизонталі - NH , по вертикалі - NG .

Рівняння (7) записані для двох центральних вузлів, показаних на рис. 2б. Знаки і числові індекси струмів 1-4 відповідають чотирьом напрямкам (променям) від центрального вузла, і₅ – струм електрохімічної реакції, який переносить заряди від одного електрода до другого через електроліт. Якщо струми і₁ – і₄ в електродах записати як функції потенціалів у вузлах, наприклад,

, (8)

а і₅ = і², де і– густина струму на поверхні електрода, то після підстановки цих співвідношень в (7) одержимо формули (6).

Однаковий результат цих двох математичних операцій показує, що рівняння Кірхгофа і рівняння Пуассона (1) є математичними виразами закону збереження кількості електрики, перше для дискретної сіткової моделі, друге – для суцільної пластини (електродів).

В формулах (6) індекс (i,j) відповідає центральному вузлу, для якого виконується розрахунок, а індекси 1- 4 – чотирьом найближчим вузлам, які оточують вузол (i,j) і мають координати: (i,j+1), (i,j-1), (i-1,j), (i+1,j).

Для вузлів, розташованих на контурі, потенціали визначають з граничних умов (2) як величини, що дорівнюють потенціалам найближчих вузлів в напрямку, перпендикулярному до лінії контура, наприклад, для двох вертикальних (граничних лівої і правої) ліній:

, ;,(9)

У всіх внутрішніх вузлах координатної сітки, з номерами вузлів і=2…N-1, j=2…M-1, де перетинаються лінії сітки, підраховують значення потенціалів за ітераційними формулами (6) .

Локальна густина струму визначається як функція потенціалів,з виразу (4).

Всі перелічені операції повторюються на кожному кроці в ітераційному циклі.

Після одержання точного рішення визначається сумарний струм елемента як інтеграл по площі HG (сума локальних струмів у всіх(N-1)(M-1) вузлах сітки).

Рішення, які на всіх вузлах сіті задовольняють рівнянням (6), і є рішенням задачі визначення електричного поля.

Алгоритм вирішення задачі в програмі ітераційний [1], і складається з таких частин.

1. Спочатку задають довільні значення потенціалів у всіх вузлах обох сіток, і значення V₀=0 та U₀ у вузлах, які розташовані на контурі електродів і належать струмовідводам.

2. Далі в ітераційному циклі повторюються дві операції:

А) перераховуються потенціали у всіх вузлах обох сіток за ітераційними формулами (6);

Б) перераховуються потенціали на лініях контуру обох електродів у відповідності з граничними умовами (2,9);

В) підраховується загальний струм кожного електрода як сума струмів в усіх вузлах.

3- Перевіряється сходження ітераційного процесу за яким-небудь критерієм, наприклад, порівнянням струмів обох електродів. Ітераційний процес закінчується, коли відхилення критерію на двох чергових кроках досягає заданого нижнього рівня помилки. Якщо цей рівень не досягаться, кількість ітерацій дорівнює максимальному значенню. Ітераційний процес можна зупинити достроково, командою (клавішею) “ENTER”.

Після закінчення ітерацій програма визначає локальні значення густини струму у вузлах і будує графічне зображення поля..