2. Нелинейные цепи. Аппроксимация характеристик.

Множество важнейших процессов (нелинейное усиление, модуляция, детектирование, генерация, умножение, деление и преобразование частоты) осуществляется в радиоэлектронных устройствах с помощью нелинейных и параметрических цепей.

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от ее параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удается осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных нелинейных элементов практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удается идеализировать с точки зрения их безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.2.1. Согласно этой схемы, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключен фильтр (линейная цепь).

Рисунок. 2.1. Структурная схема нелинейного устройства.

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями. В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяя нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала.. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществить требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией, которую в общем виде можно записать так:

U_вых(t)=f[U_вх(t)]

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ наиболее удобно в качестве воздействия рассматривать входное напряжение U_вх(t), а отклика – выходной ток i_вых(t), связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

i_вых(t)=f[u_вх(t)]

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольт-амперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладают и нелинейный двухполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольт-амперные характеристики ( для нелинейных элементов их получают экспериментально0 большинства нелинейных элементов имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. В радиоэлектронных устройствах широко используются аналитические методы представления нелинейных характеристик различных приборов относительно простыми функциями (или их набором), приближенно отражающими реальные характеристики. Нахождение аналитической функции по экспериментальной характеристике нелинейного элемента называется аппроксимацией. Существуют несколько способов аппроксимации характеристик – степенная, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломанная аппроксимация). Наибольшее распространение получили аппроксимация степенным полиномом и кусочно-линейная аппроксимация.

Аппроксимация степенным полиномом. Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах (как правило, доли вольта) входных сигналов в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и ее производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенного полинома используется ряд Тэйлора

i(u)=a_o+a₁(u-U_o)+a₂(u-U_o)²+…+a_n(u-U_o)ⁿ, (2.1)

где a_o, a₁,… a_n – постоянные коэффициенты; U_o – значение напряжения u, относительно которого ведется разложение в ряд и называемое рабочей точкой. Отметим, что здесь и далее аргумент t у функций тока и напряжения для упрощения опущен. Постоянные коэффициенты ряда Тэйлора определяются известной формулой

a_n=(2.2)

Оптимальное число членов ряда берется в зависимости от трубуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удается достаточно точно осуществить полиномом не выше второй – третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда необходимо задаться диапазоном U₁, U₂ нескольких возможных значений напряжения u и положением рабочей точки U_o в этом диапазоне. Если требуется определить n коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается n+1 точек со своими координатами (i_n,u_n). Для упрощения расчетов одну точку совмещают с рабочей точкой U_o, имеющей координаты (I_o, U_o); еще две точки выбираются на границах диапазона u=U₁ и u=U₂. Остальные точки располагаются произвольно, но с учетом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2.1), составляют систему их n+1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов a_n ряда Тэйлора.

Рис.2.2. Аппроксимация характеристики транзистора степенным полиномом.

Пример 2.1. На рис. 2.2 штриховой линией представлена входная характеристика I_б=f(U_бэ) транзистора КТ601А. Аппроксимировать заданную характеристику транзистора в диапазоне 0,4…0,8 В полиномом Тэйлора второй степени i_б=a_o+a₁(u_бэ-U_o)+a₂(u_бэ-U_o)² относительно рабочей точки U_o=0,6 В.

Решение. Для упрошения расчетов в качестве точек аппроксимации выберем значения напряжений на границах диапазона и в рабочей точке , т.е. 0,4; 0,6 и

0,8 В. Поскольку выбранным точкам соответствуют токи 0,1; 0,5 и 1,5 мА, то для заданного полинома получим следующую систему уравнений:

0,1=a_o+ a₁(0.4-0.6)+ a₂(0.4-0.6)²= a_o-0.2a₁+0.04 a₂

0.5= a_o+ a₁(0.6-0.6)+ a₂(0.6-0.6)²= a_o

1.5= a_o+ a₁(0.8-0.6)+ a₂(0.8-0.6)²= a_o+0.2a₁+0.04 a₂

Решение этой системы уравнений дает значения коэффициентов a_o=0,5 мА, a₁=3,5 мА/В, a₂=7,5 мА/В². Подставив их в формулу (2.1), находим аппроксимирующую функцию (ее график показан на рисунке сплошной линией): i_б=0.5+ 3.5(u_б-0.6)+7.5(u_б-0.6)².

Кусочно-линейная аппроксимация. В большинстве практических случаев, когда на нелинейный элемент радиоэлектронной цепи воздействует входной сигнал значительный амплитуды, реальную вольт-амперную характеристику нелинейного элемента можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых с различными углами наклона к оси абсцисс. Данная аппроксимация связана непосредственно с двумя важными параметрами нелинейного элемента – напряжением начала характеристики Е_н и ее крутизной S. В общем случае дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем

S= (2.3)

Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации характеристики записывается в виде:

i={ 0, u<E_н

i={ S(u-E_н), u>E_н (2.4)

Во многих радиотехнических устройствах характеристику нелинейного элемента, к которому подводится сигнал большой амплитуды, удается с приемлемой точностью аппроксимировать лишь двумя отрезками прямых линий.

Пример 2.2. Экспериментально снятая входная характеристика I_б=f(U_бэ) транзистора КТ601А представлена на рис. 2.3. штриховой линией. Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию данной характеристики в окрестности рабочей точки U_o=0,6 В.

Решение. В соответствии с заданной вольтамперной характеристикой транзистора находим, что величина тока в рабочей точке I_о=0,5 мА. Крутизну характеристики в рабочей точке вычислим приближенно по формуле (2.3). Задав линейное приращение напряжения ∆u_бэ = 0.8 - 0.6 = 0.2 B, находим приращение тока ∆i _б=

=1.5-0.5=1 мА. Тогда S=∆i_б/∆u_б=1/0.2=5 мА/В.

Рис.2.3. Кусочно-линейная аппроксима- ция характеристики транзистора.

В результате проведенной аппроксимации характеристики ток базы транзистора в окрестности рабочей точки с координатами I_о=0,5 мА, U_o=0,6 В. Определится как : i_б=0,5+5(u_бэ-0,6)=5(u_бэ-0,5).

Из этой формулы следует, что при u_бэ<0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u_бэ>0,5 В. Если же входное напряжение u_бэ<0,5 В, то можно принять i_б=0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i={ 0, u_бэ<0,5

i={ 5(u_бэ-0,5), u_бэ>0,5

Повышение точности аппроксимации характеристик нелинейных элементов достигается увеличением количества отрезков линий. Однако это усложняет аналитическое выражение аппроксимирующей функции.

Лекция №9.

Отклик нелинейной цепи на гармонический сигнал.

Как уже отмечалось ранее, существенно упростить анализ процессов в нелинейной радиоэлектронной цепи удается при ее теоретическом представлении последовательно соединенными безынерционным нелинейным элементом и линейной цепью – фильтром. Проанализируем физические процессы, протекающие в нелинейной цепи (рис.2.4. а), при воздействии на вход безынерционного нелинейного элемента z гармонического сигнала u₁(t)=U_mcosωt и постоянного напряжения смещения U_o. Испоьзуя вольтамперную характеристику нелинейного элемента и проведя несложные графические построения, найдем аналитическую запись формы тока в радиоэлектронной цепи в зависимости от фазового угла ν=ωt (рис. 2.4, б, в). Вследствие нелинейности характеристики форма тока на выходе цепи становится несинусоидальной. Причину этого искажения гармонического колебания нетрудно пояснить следующим образом. Так как ток и напряжение связаны линейной зависимостью ∆i = S ∆u, а крутизна ВАХ на разных участках неодинаковая (имеет нелинейный характер), то равным приращениям напряжения отвечают неравные приращения тока.

Рис. 2.4. Цепь с нелинейным элементом:

а – схема; б, в – графики процессов.

Поскольку функция тока обладает периодичностью (рис.2.4, в), то ее можно представить тригонометрическим рядом Фурье:

i(t)=I_o+I_ncosnωt. (2.5)

Здесь I_o и I_n – амплитуды постоянной и гармонических составляющих.

Спектр тока в цепи с НЭ при степенной аппроксимации. Пусть суммарное напряжение источников смещения и входного гармонического сигнала

u(t)=U_o+U_mcosωt (2.6)

приложено к нелинейному элементу, вольтамперная характеристика которого в окрестности рабочей точки аппроксимирована полиномом Тэйлора вида:

i(u)=a_o+a₁(u-U_o)+a₂(u-U_o)²+a₃(u-U_o)³+… (2.7)

Подставив формулу (2.6) в (2.7), получим

i(u)=a_o+a₁U_mcosωt+a₂U_m²cos²ωt+ a₃U_m³cos³ωt+…

Используя известные формулы разложения степеней косинусов:

cos²x=(1+cos2x); cos³x=(3cosx+cos3x); cos⁴x=(3+4cos2x+cos4x);и т.д.

запишем общее выражение для тока нелинейной цепи, сгруппировав отдельно постоянные составляющие и все члены с косинусами одинаковых аргументов:

i(t)=(a_o+a₂U_m²+a₄U_m⁴+…)+(a₁U_m+a₃U_m³+a₅U_m⁵+…)cosωt+(a₂U_m²+

a₄U_m⁴+…)cos2ωt+(a₃U_m³+a₅U_m⁵+…)cos3ωt+… (2.8)

Представленное в более компактной форме соотношение (2.8) примет вид

i(t)=I_o+I₁cosωt+ I₂cos2ωt+ I₃cos2ωt+ … (2.9)

Здесь постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока:

I_o=a_o+a₂U_m²+a₄U_m⁴+…;

I₁= a₁U_m+a₃U_m³+a₅U_m⁵+…;

I₂=a₂U_m²+a₄U_m⁴+…;

I₃=a₃U_m³+a₅U_m⁵+… . (2.10)

Анализ состава этих формул показывает, что при степенной аппроксимации гармонический состав тока в цепи с НЭ существенно зависит от степени полинома. При этом постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются четными, а амплитуды нечетных гармоник – нечетными коэффициентами степенного полинома.

Спектр тока в цепи с НЭ при кусочно-линейной аппроксимации его характеристики. Пусть суммарное гармоническое и постоянное напряжение вида (2.6) подается на вход электрической цепи с НЭ, характеристика которого аппроксимирована кусочно-линейной линией и описывается формулой (2.4). В этом случае временная диаграмма тока, протекающего через НЭ цепи, имеет форму косинусоидальных импульсов с отсечкой их нижней части (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Форма тока при кусочно-линейной аппроксимации характеристики НЭ.

Параметр θ (в радианах или градусах), при котором ток изменяется от максимального значения I_m до нуля, называется углом отсечки. Изменение фазы, соответствующее длительности полного импульса тока на выходе цепи, равно 2θ. Из графиков на рис. 2.5. нетрудно определить, что при фазовом угле ωt=0 напряжение начала характеристики Е_н=U_o+U_mcosθ, откуда

сosθ=(Е_н- U_o)/ U_m (2.11)

Подставив в формулу (2.4) суммарное напряжение источников сигнала и смещения из выражения (2.6) и напряжение начала характеристики Е_н, получим аналитическую запись формы тока в зависимости от фазового угла:

i(ωt)=SU_m(cosωt-cosθ), -θ<ωt<θ (2.12)

Полученную четную функцию i(ωt) периодической последовательности импульсов тока (2.12) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье, в котором период повторения составляет 2π, длительность импульса – 2θ, а текущий переменной является мгновенный фазовый угол ν= ωt. В этих импульсах тока постоянная составляющая запишется следующим образом:

I_o=(cosωt-cosθ)dωt=(sinθ-θcosθ). (2.13)

Амплитуда первой гармоники

I₁=(cosωt-cosθ)cosωtdωt=(θ-sinθcosθ). (2.14)

Подобным же образом определяются амплитуды гармонических составляющих I_n и для n=2,3, … . При этом обобщенная формула для вычисления этих гармоник будет:

I_n=. (2.15)

В радиотехнике полученные результаты принято записывать в специальной форме:

I_o=SU_mγ_o; I₁=SU_mγ₁; …; I_n=SU_mγ_n; (2.16)

Здесь γ_o, γ₁, …, γ_n – так называемые функции Берга, или коэффициенты гармоник, отражающие величины присутствующих гармоник в спектре преобразованного тока, которые аналитически выглядят следующим образом:

γ_n=(sinθ-θcosθ),

γ_n=(sinθ-θcosθ),

γ_n=, n=2.3, … (2.17)

Пример 2.3. Характеристика нелинейного элемента имеет кусочно-линейную аппроксимацию двумя отрезками, у которой Е_н=0,6 В, S=0,25 мА/в. На элемент воздействует суммарное (постоянное и переменное) напряжение u(t)=0,2+0,8cosωt В. Определить постоянную составляющую и первую гармонику тока, протекающих через нелинейный элемент цепи.

Решение. Воспользовавшись формулой (2.11), находим, что cosθ=0,6- 0,2)/0,8=0,5. Отсюда угол отсечки тока, протекающий через нелинейный элемент, θ=60^о. Два первых коэффициента гармоник, соответствующие этому углу, будут γ_о=0,11; γ₁=0,2. Подставив последовательно эти значения в соотношение (2.16), вычисляем соответственно амплитуды постоянной составляющей и первой гармоники: I_o=2 мА, I₁=4 мА.

Коэффициенты гармоник очень часто используются в инженерных расчетах, например, при проектировании схем нелинейных усилителей мощности, умножителей частоты и автогенераторов. Поэтому они приводятся в специальной технической литературе.

Лекция №10.