4.Детектирование модулированных колебаний

Детектированием (демодуляцией) называется процесс преобразования модулированного сигнала в колебание, форма которого воспроизводит низкочастотный модулирующий сигнал. Детекторы (демодуляторы) выполняют функцию, обратную функции, осуществляемой модуляторами, и подразделяются на амплитудные, частотные, фазовые, импульсные, цифровые и т.д.

Амплитудное детектирование. Рассмотрим процесс детектирования простейшего однотонального АМ-сигнала. На вход детектора АМ-сигнала (АМ-детектора) подается высокочастотное модулированное колебание вида:

u_вх(t)=U_вх(1+McosΩt)cosω_ot=U_вх(t) cosω_ot (4.1)

где U_вх(t)= U_вх(1+McosΩt).

Выходное же напряжение детектора Должно быть низкочастотным u_вых(t)= U_выхcosΩt, пропорциональным (копией) передаваемому сообщению. Эффективность работы амплитудного детектора оценивают коэффициентом передачи (коэффициентом детектирования), представляющим отношение амплитуды выходного низкочастотного напряжения к амплитуде огибающей входного модулированного сигнала:

к_д=U_вых/(MU_вх). (4.2)

В зависимости от амплитуды АМ-сигнала и степени нелинейности характеристики детекторного элемента возможны два режима детектирования: линейный (режим больших амплитуд с кусочно-линейной аппроксимацией характеристики) и квадратичной (работа при малых амплитудах на участке характеристики, описываемой полиномом второй степени).

Линейный диодный детектор. При линейном режиме работы детектора амплитуды сигналов на входе и выходе связаны прямопропорционалной зависимостью. На рис.4.1. представлена схема так называемого последовательного диодного детектора, у которого диод включен последовательно с низкочастотным R_нС_н-фильтром.

Рис. 4.1. Последовательный диодный детектор:

а – схема; б – диаграммы напряжений.

Чтобы цепь реальной нагрузки любого детектора эффективно отфильтровывала полезный модулирующий сигнал и подавляла паразитные высокочастотные составляющие, необходимо выполнение двух следующих неравенств:

1/(ΩC_н)>>R_н; 1/(ω_oC_н)<<R_н. (4.3)

Еще одно непременное условие хорошей работы детектора – сопротивление резистора нагрузки R_н должно быть значительно больше сопротивления диода в его прямой проводимости.

Пусть на вход диодного детектора подается простейший, однотональный АМ-сигнал u_вх(t)=U_вх(t)sinω_ot (рис.4.1, б).

Рис.4.2. Диаграммы тока и напряжения в линейном детектор

Ток через диод протекает в моменты времени, когда амплитуда входного напряжения u_вх превышает напряжение на конденсаторе С_н (а значит, и на выходе детектора u_вых). В этом случае конденсатор С_н заряжается через малое сопротивление открытого диода намного быстрее, чем разряжается на высокоомное сопротивление нагрузки. Поэтому диод большую часть периода входного колебания закрыт и амплитуда выходного напряжения близка к амплитуде входного.

Для упрощения анализа и расчетов схемы положим, что на вход детектора подается достаточно большое немодулированное гармоническое напряжение, при котором ВАХ диода можно аппроксимировать отрезками двух прямых линий (рис.4.2). Как следует из этого рисунка, амплитуды входного и выходного напряжений связаны простым соотношением: U_вых=U_o=U_вхcosθ. В этом случае коэффициент передачи детектора

к_д=U_вых/U_вх=cosθ. (4.4)

Постоянная составляющая тока амплитудного детектора в соответствии с формулой (2.16): I_o=SU_вхγ_o. Поэтому среднее значение выходного напряжения

U_вых=U_o=I_oR_н= SU_вхγ_oR_н (4.5)

Из этой формулы, используя соотношение (4.4), получим следующее трансцендентное уравнение (напомним, что в них неизвестное входит в аргумент): cosθ= Sγ_oR_н=(sinθ-θcosθ). (4.6)

Поделив обе части этого уравнения на cosθ, запишем:

tgθ-θ=π/(SR_н). (4.7)

Из этой формулы следует, что угол отсечки не зависит от амплитуды входного сигнала и определяется только величиной произведения SR_н, причем чем оно больше, тем меньше угол отсечки. Как правило, SR_н>>1, поэтому угол отсечки θ близок к нулю. Из математики известно, что при малых параметрах (в данном случае углах) θ имеет место равенство tgθ=θ+θ³/3. Приняв во внимание это равенство, из соотношения (4.7) нетрудно вывести следующую формулу для расета коэффициента детектирования:

к_д= cosθ=cos. (4.8)

Входное сопротивление последовательного детектора. В практических схемах высокочастотное модулированное колебание, подаваемое на АМ-детектор, снимается с резонансного усилителя промежуточной частоты приемника. При этом контур УПЧ шунтируется низким входным сопротивлением детектора, что приводит к уменьшению его добротности и расширению полосы пропускания усилителя (ухудшению избирательности).

Определим величину входного сопротивления последовательного детектора АМ-сигнала. Для его оценки положим, что угол отсечки очень мал, и поэтому cosθ=1 и U_вх=U_o. Мощность немодулированного гармонического сигнала, подводимую к детектору, можно определить как P_вх=0.5U_вх²/R_вх, где R_вх – его искомое входное сопротивление. Мощность, выделяемая на нагрузке детектора, P_н=U_о²/R_н ПосколькуСопротивление диода в прямом направлении близко к нулю, то вся входная мощность выделяется на нагрузке (P_н= P_вх), и поэтому U_о²/R_н=0,5U_вх²/R_вх

Отсюда находим входное сопротивление диодного детектора:

R_вх= R_н (4.9)

Принцип действия последовательного линейного детектора можно распространить на любые типы амплитудных детекторов, имеющих НЭ с односторонней (вентильной) проводимостью.

Пример 4.1. АМ-сигнал, аналитический записанный как u_АМ(t)=5(1+0,8cosΩt)∙ cosω_оt подан на вход линейного детектора. Нагрузка детектора имеет сопротивление R_н=20 кОм, а крутизна характеристики диода S=15 мА/В. Определить амплитуду выходного сигнала детектора.

Решение. Поскольку значение параметра SR_н=300 достаточно велико, то в соответствии с формулой (4.8), коэффициент детектирования

к_д= U_вых/(U_вх)=cos=0,95.

Из параметров входного АМ-сигнала находим его амплитуду U_вх=5∙(1+ 0,8)=9 В. Тогда амплитуда выходного сигнала U_вых=к_д U_вх=095∙9=8,55 В.

Лекция №13.

Квадратичный детектор. Принципы действия квадратичного и линейного детекторов существенно отличаются. При малых амплитудах АМ-сигнала характеристика НЭ наиболее точно аппроксимируется полиномом Тэйлора второй степени

i(t)=a_o+ a₁u_вх(t)+ a₂u_вх²(t) (4.10)

Подставляя в это выражение значение напряжения u_вх(t) из формулы (4.1), получим

i(t)=a_o+ a₁U_вх(t)cosω_ot+0,5 a₂U_вх²(t)+0,5a₂U_вх²(t)cos2ω_ot (4.11)

На выходе АМ-детектора составляющие тока с высокими частотами ω_о и

2ω_о отфильтровываются R_нС_н-цепью. Предаваемя же информация содержится в низкочастотной составляющей продетектированного колебания, которая, после несложных математических выкладок, запишется в таком виде:

i_н(t)=0,5a₂U_вх²(1+0,5M²+2McosΩt+0,5M²cos2Ωt).

Как следует из последней формулы, полезный эффект детектирования (передаваемое сообщение) пропорционален квадрату амплитуды АМ-сигнала U_вх², поэтому такое детектирование и называют квадратичным.

Постоянная составляющая тока легко отфильтровывается (например, разделительным конденсатором), и выходной ток детектора определяется формулой:

i_вых(t)=a₂U_вх²McosΩt+0,25а₂M² U_вх²cos2Ωt). (4.12)

Полезным является только первое слагаемое, второе же определяет нелинейные искажения передаваемого сигнала, вносимое детектором. Снизить нелинейные искажения сигнала можно путем уменьшения глубины модуляции.

Амплитудные детекторы на операционных усилителях (интегральные детекторы). Диодные (как и транзисторные) амплитудные детекторы при малых входных напряжениях вносят в полезный сигнал значительные нелинейные искажения. Поэтому в последние годы в радиотехнических устройствах в основном применяют детекторы, построенные на аналоговых интегральных микросхемах – операционных усилителях, которые осуществляют одновременно и усиление выходного сигнала (рис.4.3).

Рис.4.3. Детектор на ОУ:

а – схема; б,в – диаграммы напряжений на входе и выходе

Поскольку детектор выполнен по схеме инвертирующего усилителя (возможно и неинвертирующее включение ОУ), то при поступлении положительных полуволн входного сигнала напряжение u₂ (аргумент t опущен), на выходе ОУ будет отрицательным. При этом диод VD1 открыт, а диод VD2 закрыт. Выход ОУ через малое прямое сопротивление диода VD1 оказывается подключенным к его входу, что создает глубокую отрицательную обратную связь по напряжению. В результате, напряжение на выходе ОУ будет равно напряжению на его входе и близко к нулю, т.е. u₂≈ u₁≈0. Выходное напряжение детектора также будет равно нулю.

Во время поступления отрицательной полуволны входного гармонического сигнала напряжение u₂ на выходе ОУ будет положительным, поэтому диод VD1 закрыт, а диод VD2 открыт. В этом случае напряжение на выходе ОУ и выходное напряжение детектора

u_вых= u₂=- u_вхR₂/R₁ (4.13)

и соответствует закону изменения входного сигнала.

Детектирование сигналов с угловой модуляцией. При детектировании ЧМ- и ФМ-сигналов они предварительно преобразуются в колебания с неглубокой амплитудной модуляцией и затем детектируются амплитудным детектором. Подобное преобразование необходимо потому, что нелинейные элементы реагируют на изменения только амплитуды, а не частоты и фазы колебаний.

Частотный детектор. Для выделения передаваемого полезного сигнала из частотно-модулированного колебания применяются частотные детекторы. Преобразование частотной или фазовой модуляции в амплитудную можно осуществить с помощью различных линейных цепей, в частности резонансного контура, амплитуда напряжения на котором зависит от частоты входных колебаний. Положим, что колебательный контур настроен на частоту ω_р и на него подается однотональный ЧМ-сигнал с постоянной амплитудой и меняющейся по гармоническому закону частотой ω(t)= ω_o+ ω_дcosΩt (здесь ω_о – частота несущего; ω_д – девиация частоты.). Поскольку модуль полного сопротивления колебательного контура зависит от частоты, то амплитуда напряжения на нем будет изменяться во времени при отклонениях частоты ЧМ-сигнала от несущей ω_о. Данное положение иллюстрируется рис. 4.4, где соответственно показаны: зависимость амплитуды напряжения на контуре от частоты U_k(ω); изменения во времени частоты ω(t) ЧМ-сигнала и амплитуды U_k(t) ЧМ-колебания на выходе контура.

Рис.4.4. Преобразование ЧМ-сигнала

в АМ-ЧМ-колебание

Таким образом, амплитуда ЧМ-колебания на выходе резонансного контура изменяется во времени пропорционально гармоническому модулирующему сигналу, т.е. ЧМ-сигнал превратился в напряжение, модулированное еще и по амплитуде. Уже затем такое, достаточно сложное по структуре АМ-ЧМ-колебание,

детектируется амплитудным детектором. Недостаток данного метода детектирования – весьма ограниченный линейный участок на скате резонансной кривой контура.

Частотный дискриминатор. На рис.4.5 представлена упрощенная схема ЧМ-детектора (частотного дискриминатора), используемая во многих приемниках ЧМ-сигналов, а также в устройствах измерительной техники и автогенераторах для автоматической подстройки частоты.

Рис.4.5. Частотный детектор.

Схема этого ЧМ-детектора содержит резонансный усилитель-ограничитель на ОУ, к выходу которого подключены два индуктивно связанных контура, настроенные на несущую частоту ω_о и осуществляющие преобразование ЧМ-сигнала в АМ-ЧМ-колебание. Преобразованное подобным образом сложное колебание детектируется одновременно двумя идентичными АМ-детекторами, соединенными последовательно. Конденсатор С_р в схеме – разделительный, а дроссель L_др преграждает путь протеканию току высокой частоты через нагрузку детектора.

Принцип действия данного частотного детектора заключается в линейном преобразовании отклонения частоты в изменение фазового сдвига высокочастотного колебания с последующим амплитудным детектированием. Для пояснения его работы обратимся к векторным диаграммам (рис.4.6, а…в).

а) б) в)

Рис.4.6. Векторные диаграммы к частотному детектору.

На этих диаграммах векторы напряжений отражают разности потенциалов между точками 0, А, В и Д, показанными на рис. 4.5. Поскольку контура усилителя и амплитудных детекторов имеют индуктивную связь, то одно из напряжений U₂/2 на входах диодов синфазно, а другое – противофазно выходному напряжению операционного усилителя U₁.

В отсутствии модуляции, когда частота ЧМ-сигнала ω_о совпадает с резонансными частотами ω_р контуров, напряжение U₁ в контуре усилителя опережает по фазе ток I₁ на 90^о. При этом напряжения на контурах U₂/2 и - U₂/2 на контурах АМ-детекторов также опережают по фазе ток I₁ входного контура на 90^о. Соответствующая этому случаю векторная диаграмма приведена на рис.4.6, а. Напряжения U_д1, U_д2 на диодах амплитудных детекторов при этом равны, и выходное напряжение U_вых=0.

При отклонении частоты ЧМ-сигнала от резонансной на ∆ω напряжение U₁ на контуре усилителя получит по отношению к току I₁ дополнительный фазовый сдвиг ±φ, знак и величина которого определяется ФЧХ параллельного контура. Векторные диаграммы напряжений на контурах на частоте ЧМ-сигнала выше и ниже резонансной приведены соответственно на рис.4.6, б, в. Очевидно, что в этих случаях напряжения U_д1 и U_д1 не будут равны, вследствие чего на выходе ЧМ-детектора появится выходное напряжение U_вых, отражающее передаваемое сообщение.

Зависимость выходного напряжения U_вых от величины ∆ω=ω-ω_о называется детекторной характеристикой.

Лекция №14.

ЧМ-детектор на интегральном аналоговом перемножителе. Большинство срвременных детекторов ЧМ-сигналов в радиоприемных устройствах выполняют на интегральных аналоговых перемножителях. В такой схеме (рис.4.7) на входе аналогового перемножителя (ПС) включают параллельный резонансный контур, настроенный на несущую частоту, а на выходе – ФНЧ, который выделяет полезный сигнал.

Рис.4.7. Схема ЧМ-детектора на аналоговом перемножителе

Пусть на вход детектора поступает немодулированное гармоническое напряжение u_вх(t)=U_вхcosωt. Аналоговый перемножитель обладает большими входными сопротивлениями, поэтому его входы практически не потребляют токи, и весь входной ток i_вх(t)=I_вхcosωt протекает через емкость С₁ и параллельный контур. Поскольку напряжение на конденсаторе С₁ отстает от тока на π/2, то напряжение на входе перемножителя

u₁(t)=U_Сcos(ωt-π/2) (4.15)

где U_С – амплитудное значение напряжения на конденсаторе. Напряжение на контуре

u₂(t)=U_Кcos(ωt+π/2), (4.16)

где U_К – амплитудное значение напряжения, а фазовый сдвиг

φ=-arctg(2Q∆ω/ω_o), (4.17)

здесь ∆ω= ω-ω_o – абсолютная расстройка; Q – добротность контура.

С помощью последних двух формул определим напряжение на выходе перемножителя. Используя тригонометрическую формулу косинусов, запишем

u_п(t)=k_au₁(t)u₂(t)=k_aU_cU_kcos(ωt-π/2)cos(ωt+φ)=

=0,5 k_aU_cU_k [cos(φ+π/2)+cos(2ωt+φ-π/2)]. (4.18)

Включение в схему ФНЧ позволяет избавиться от составляющей с удвоенной частотой, поэтому выходное напряжение детектора

U_вых=0,5 k_aU_cU_k cos(φ+π/2)=- 0,5 k_aU_cU_k sinφ (4.19)

Как правило, в резонансном контуре 2Q∆ω/ω_o<<1, и поэтому sinφ≈φ= =2Q∆ω/ω_o. С учетом этого равенства получим:

U_вых=- k_aU_cU_k Q∆ω/ω_o (4.20)

Итак, согласно этому соотношению, схема на рис.4.7. осуществляет линейное детектирование ЧМ-сигналов, при котором выходное напряжение пропорционально отклонению частоты сигнала от несущей.

Фазовый детектор. Схема фазового детектора преобразует ФМ-колебание в низкочастотное напряжение, изменяющееся по закону модулирующего сигнала. Напряжение на выходе ФМ-детектора определяется разностью фаз двух сравниваемых сигналов (рис.4.8, а): ФМ- колебание u_фм(t)=U_фмcos(ω_оt+φ) и опорного u_о(t)=U_оcosω_оt, вырабатываемого генератором опорного напряжения.

а) б)

Рис.4.8. Фазовый детектор:

а – схема; б – векторная диаграмма.

Амплитуды напряжений на входах диодов можно определить с помощью векторной диаграммы (рис.4.8, б). Из нее следует, что

U_D1=(4.21)

U_D2=(4.22)

Полученные сигналы затем преобразуются АМ-детекторами с коэффициентом передачи к_д, и на нагрузках схемы возникают два напряжения: U₁=k_дU_D1 и U₂=k_дU_D2. Результирующее напряжение на выходе фазового детектора:

U_вых=U₁-U₂=k_д(-. (4.23)

Амплитуда опорного напряжения в фазовых детекторах выбирают намного больше амплитуды ФМ-колебания, т.е. U_о>>U_фм (обычно в 3…5 раз и более). Это делается для «вывода» полезного сигнала из напряжения шумов, поскольку они часто соизмеримы по амплитуде и сигнал может быть искажен. В этом случае выражение (4.23) можно представить упрощенно

U_вых≈2k_дU_фмcosφ (4.24)

Из этой формулы следует, что низкочастотное напряжение на выходе фазового детектора изменяется практически в соответствии с фазой ФМ-колебания.

В интегральном исполнении широко применяют ФМ-детектора на основе аналоговых перемножителей напряжений. В последние годы предпочтение отдается цифровым фазовым детекторам, обладающим высокой помехозащищенностью.

Лекция №15.

Преобразование сигналов в параметрических цепях

Параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами), называются радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону. Предполагается, что изменение (точнее модуляция) какого-либо параметра осуществляется электронным методом с помощью управляющего сигнала. В радиотехнике широко применяются параметрические сопротивления R(t), индуктивности L(t) и емкости C(t).

Примером одного из современных параметрических сопротивлений может служить канал VLG-транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u_г(t). В этом случае крутизна его стоко-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением функциональной зависимостью S(t)=S[u_г(t)]. Если к VLG-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t), то его ток определится выражением:

i_c(t)=i(t)=S(t)u(t)=S[u_г(t)]u(t). (5.1)

Как к классу линейных, к параметрическим цепям применим принцип суперпозиции. Действительно, если приложенное к цепи напряжение является суммой двух переменных

u(t)=u₁(t)+u₂(t), (5.2)

то, подставив (5.2) в (5.1), получим выходной ток также в виде суммы двух составляющих

i(t)=S(t)u₁(t)+S(t)u₂(t)= i₁(t)+ i₂(t) (5.3)

Соотношение (5.3) показывает, что отклик параметрической цепи на сумму двух сигналов равен сумме ее откликов на каждый сигнал в отдельности.

Преобразование сигналов в цепи с параметрическим сопротивлением. Наиболее широко параметрические сопротивления применяются для преобразования частоты сигналов. Отметим, что термин «преобразование частоты» не совсем корректен, поскольку частота сама по себе неизменна. Очевидно, это понятие возникло из-за неточного перевода английского слова «heterodyning – гетеродинирование». Гетеродинирование – это процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов различных частот для получения третьей частоты.

Итак, преобразование частоты – это линейный перенос (смешивание, трансформация, гетеродинирование, или транспонирование) спектра модулированного сигнала (а также любого радиосигнала) из области несущей частоты в область промежуточной частоты (или с одной несущей несущей частоты на другую, в том числе и более высокую) без изменения вида или характера модуляции.

Преобразователь частоты (рис.5.1) состоит из смесителя (СМ) – параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа или обычного диода с квадратичной характеристикой), гетеродина (Г) – вспомогательного автогенератора гармонических колебаний с частотой ω_г, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (обычно колебательного контура УПЧ или УВЧ).

Рис.5.1. Структурная схема преобразователя частоты

Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Положим, что под воздействием гетеродинного напряжения

u_г(t)=U_гcos ω_гt (5.4)

крутизна характеристики МДП-транзистора преобразователя частоты изменяется во времени приближенно по закону

S(t)=S_o+S₁cos ω_гt (5.5)

где S_o и S₁ – соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики.

При поступлении на МДП-транзистор смесителя АМ-сигнала u_AM(t)= U_н(1+McosΩt)cosω_ot переменная составляющая выходного тока в соответствии с (5.1) и (5.5) будет определяться выражением:

i_c(t)=S(t)u_AM(t)=( S_o+S₁cos ω_гt) U_н(1+McosΩt)cosω_ot=

U_н(1+McosΩt)[S_ocosω_ot+0,5S₁cos(ω_г-ω_o)t+0,5cos(ω_г+ω_o)t] (5.6)

Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана

ω_пч=|ω_г-ω_о|. (5.7)

Тогда, выделив ее с помощью контура УПЧ из спектра тока (5.6), получим преобразованный АМ-сигнал с тем же законом модуляции, но существенно меньшей несущей частотой

i_пч(t)=0,5S₁U_н(1+McosΩt)cosω_пчt (5.8)

Заметим, что наличие только двух боковых составляющих спектра тока (5.6) определяется выбором предельно простой кусочно-линейной аппроксимации крутизны характеристики транзистора. В реальных схемах смесителей в спектре тока содержатся также составляющие комбинационных частот

ω_пч=|mω_г±nω_о|, (5.9)

где m и n – любые целые положительные числа.

Соответствующие временные и спектральные диаграммы сигналов с амплитудной модуляцией на входе и выходе преобразователя частоты показаны на рис. 5.2.

а) б)

Рис.5.2. Диаграммы на входе и выходе преобразователя частоты:

а – временные; б – спектральные

Преобразователь частоты в аналоговых перемножителях. Современные преобоазователи частоты с параметрическими резистивными цепями построены на принципиально новой основе. В них в качестве смесителей используются аналоговые перемножители. Если на входы аналогового перемножителя подать два гармонических колебания некий модулированный сигнал:

u_с(t)=U_c(t)cosω_ot (5.10)

и опорное напряжение гетеродина u_г(t)=U_гcos ω_гt, то его выходное напряжение будет содержать две составляющие

u_вых(t)=k_au_c(t)u_г(t)=0,5k_aU_c(t)U_г[cos(ω_г-ω_o)t+ cos(ω_г+ω_o)t] (5.11)

Спектральная составляющая с разностной частотой ω_пч=|ω_г±ω_о| выделяется узкополосным фильтром УПЧ и используется в качестве промежуточной частоты преобразованного сигнала.

Преобразование частоты в цепи с варикапом. Если на варикап подать только гетеродинное напряжение (5.4), то его емкость приближенно будет изменяться во времени по закону (см.рис. 3.2 в части I):

C(t)=C_o+C₁cosω_гt, (5.12)

где С_о и С₁ – среднее значение и первая гармоническая составляющая емкости варикапа.

Положим, что на варикап воздействуют два сигнала: гетеродинное и (для упрощения расчетов) немодулированное гармоническое напряжение (5.10) с амплитудой U_c. В этом случае заряд на емкости варикапа будет определяться:

q(t)=C(t)u_c(t)=(С_о+С₁cosω_гt)U_ccosω_ot=

=С_оU_c(t)cosω_ot+0,5С₁U_ccos(ω_г - ω_o)t+0,5С₁U_ccos(ω_г + ω_o)t, (5.13)

а ток, протекающий через него,

i(t)=dq/dt=- ω_oС_oU_csinω_ot-0,5(ω_г-ω_o)С₁U_csin(ω_г-ω_o)t-

-0,5(ω_г+ω_o)С₁U_csin(ω_г+ω_o)t (5.14)

Включив последовательно с варикапом колебательный контур, настроенный на промежуточную частоту ω_пч=|ω_г-ω_о|, можно выделить желаемое напряжение.

С реактивным элементом типа варикапа (для сверхвысоких частот это варактор) можно создать также параметрический генератор, усилитель мощности, умножитель частоты. Такая возможность основана на преобразовании энергии в параметрической емкости. Из курса физики известно, что энергия, накопленная в конденсаторе, связана с его емкостью С и зарядом на ней q формулой:

Э= q²/(2С). (5.15)

Пусть заряд остается постоянным , а емкость конденсатора уменьшается. Поскольку энергия обратно пропорциональна величине емкости, то приуменьшении последней энергия растет. Количественное соотношение такой связи получим, дифференцируя (5.15) по параметру С:

dЭ/dC= q²/2C²=-Э/С (5.16)

Это выражение также справедливо и для малых приращений емкости ∆С и энергии ∆Э, поэтому можно записать

∆Э=-Э(5.17)

Знак минус здесь показывает, что уменьшение емкости конденсатора (∆С<0) вызывает увеличение запасаемой в нем энергии (∆Э>0). Увеличение энергии происходит за счет внешних затрат на выполнение работы против сил электрического поля при уменьшении емкости (например, путем изменения напряжения смещения на варикапе).

При одновременном воздействии на параметрическую емкость (или индуктивность) нескольких источников сигналов с разными частотами, между ними будет происходить перераспределение (обмен) энергий колебаний. На практике энергия колебаний внешнего источника, называемого генератором накачки, через параметрический элемент передается в цепь полезного сигнала.

Для анализа энергетических соотношений в многоконтурных цепях с варикапом обратимся к обобщенной схеме (рис.5.3). В ней параллельно параметрической емкости С включены три цепи, две из которых содержат источники e₁(t) и e₂(t), создающие гармонические колебания с частотами ω₁ и ω₂. Источники соединены через узкополосные фильтры Ф₁ и Ф₂, пропускающие соответственно колебания с частотами ω₁ и ω₂. Третья цепь содержит сопротивление нагрузки R_н и узкополосный фильтр Ф₃, так называемый холостой контур, настроенный на заданную комбинационную частоту

ω₃ = mω₁+nω_2, (5.18)

где m и n – целые числа.

Для упрощения будем считать, что в схеме применены фильтры без омических потерь. Если в схеме источники e₁(t) и e₂(t) отдают мощности Р₁ и Р₂, то сопротивление нагрузки R_н потребляет мощность Р_н. Для замкнутой системы в соответствии с законом сохранения энергии получим условие баланса мощностей:

Р₁+Р₂+Р_н=0 (5.19)

Рис. 5.3. Обобщенная схема с параметрической емкостью

Умножив и разделив здесь каждое слагаемое на соответствующую частоту, получим:

(5.20)

Запишем это уравнение в другом виде

ω₁+ω₂=0 (5.21)

Полученное равенство должно быть тождественным при любых частотах. Это, очевидно, возможно, если

=0; =0. (5.22)

Эти два фундаментальных соотношения называют уравнениями Мэнли-Роу. Они позволяют просто и наглядно выяснить закономерность преобразование мощностей сигнала и накачки в многоконтурных параметрических цепях. Рассмотрим наиболее распространенный случай, имеющий место в параметрических цепях устройств радиоэлектроники.

Параметрическое усиление с преобразованием частоты. Пусть в параметрической схеме, структурно показанной на рис.5.3. e₁(t) – источник усиливаемого сигнала, а e₂(t) – генератор накачки. Положив в формулах (5.22) значение коэффициентов m=n=1, получим

=0; =0 (5.23)

Будем считать (как это принято в физике) мощность, выделяемую на активной нагрузке, положительной, а мощность, отдаваемую генератором, отрицательной. Тогда их (5.23) следует, что при Р_н>0 мощности Р₁<0 и Р₂<0. Значит, при настройке холостого контура на частоту ω₃=ω₁+ω₂ источник усиливаемого сигнала и генератор накачки будут отдавать мощность в нагрузку, и схема превращается в параметрический усилитель входного сигнала. При этом усиление сигнала сопровождается повышением его частоты.

С помощью параметрической цепи возможно также усиление мощности входного сигнала с понижением его частоты. Нетрудно показать, что это будет иметь место в данной схеме при настройке холостого контура на разностную частоту ω₃=ω₁-ω₂ и выборе m=1, n =-1 в формуле (5.22).