Бином Ньютона

Для любого целого положительного n и для любого действительного x следующее равенство:

Приведенное равенство - формула бинома Ньютона - (бином - многочлен).

Коэффициенты при степенях называются биномиальными коэффициентами и обозначаются символами.

Таким образом, , а если k - одно из чисел 1,2,…n, то.

Использовав эти обозначения, формулу бинома Ньютона можно записать короче:

, (1)

.

Формула (1) используется также в виде (3)

(здесь a и b действительные числа)

Функция. Отображение

Понятие функции. Пусть заданы множества E и F. Правило, по которому каждому элементу множества Е ставится в соответствие (единственный) элемент множества F называется (однозначной) функцией. Это правило также называют принципом, законом, действием, соответствием, зависимостью.

Для обозначения элементов множеств вводятся обозначения. Символ, обозначающий элемент множества E называется независимой переменной или аргументом функции. Соответственно символ, обозначающий соответствующий элемент множества F называется зависимой переменной. Символы, обозначающие переменные можно выбирать произвольно. Отображение (функцию) обычно обозначают буквой или символом , указывая тем самым, что отображает множество Е в F. Употребляется также обозначение , указывающее, что элементу х соответствует элемент . Иногда функцию удобно задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно говорить, что “функция определена равенством ”.Если "у" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {у}, то отображение записывают в виде равенства и говорят, что это отображение задано явно.

Образ и прообраз множества прн заданном отображении

Пусть задано отображение и множество .

Определение 1. Множество элементов из F, каждый из которых является образом хотя бы одного элемента из D при отображении f, называется образом множества D и обозначается f(D).

Очевидно,

.

Пусть теперь задано множество .

Определение 2. Множество элементов таких, что , называетсяпрообразом множества Y при отображении f и обозначается .

Ясно, что

.

Если , то . Если при каждом множество состоитне более чем из одного элемента , то f называется взаимно однозначным отображением Е в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение f множества Е на F.

Определение 3. Отображение называется:

инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества Е в F), если или еслиуравнениеf(x) = у имеет не более одного решения;

сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества Е на F), если

f(E) = F или если уравнение f(x)=у имеет, по крайней мере, одно решение;

биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества Е на F), если оно инъективно и сюръективно или если уравнение f(x) = у имеет одно и только одно решение.

Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения.

Определение 1. Пусть , а. Поскольку , то отображениеg каждому элементу относит определенный элемент.

Таким образом, каждому посредством правила поставлен в соответствие эле­мент . Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.

Определение 2. Пусть -биективное отображение и F={у}. В силу биективности f каждому соответствует единственный образх, который обозначим через , и такой, чтоf(x) = у. Таким образом, определено отображение ,которое называется обратным отображению f, или обратной функцией функции f.

Очевидно, отображение f обратное отображению . Поэтому отображения f и называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения

.

Окрестности.

Дополним множество действительных чисел R элементами, обозначаемыми через ии называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями, считая при этом, что по определению,

,

,

,

.

Но операции илиуже не определены. Для любогопо определению полагается выполненным неравенство

и справедливость следующих операций:

;

для a>0 ;

для a<0 .

Множество действительных чисел R, дополненное элементами , называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозначается через.

Если , то множествоназывается отрезком и обозначается через, т.е..

Если , то множествоназывается интервалом и обозначается через, т.е..

Множества

называются полуинтервалами.

В случае , т.е. когдаявляется действительным числом,-окрестностью,, числаназывается интервал:.

Если же , то

а если , то.

Пополним множество действительных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) . Её-окрестностьсостоит из двух бесконечных интервалови самого элемента.