- •Элементы логики. Функции. Действительные числа.
- •Числовые множества
- •Эквивалентные множества. Конечные и бесконечные множества
- •Бином Ньютона
- •Предел последовательности. Подпоследовательности и частичные пределы
- •Свойства последовательностей имеющих предел (сходящиеся последовательности)
- •Предел функции. Частичный предел функции
- •Непрерывные функции.
- •Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной. Формула Тейлора и её применения.
- •Исследование функций одной переменной с помощью аппарата дифференциального исчисления
- •Неопределённый интеграл
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Интеграл Римана
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла
- •Метод прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл
- •Несобственные интегралы
Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
В данном разделе рассмотрим оценки определенных интегралов, а также формулу Ньютона-Лейбница позволяющую вычислять определенный интеграл.
Теорема 1 (об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т.е.
m(b-a)<<M(b-a), a<b,
где m и M- соответственно наименьшее и набольшее значения функции f(x) в интервале a;b.
Теорема 2. Если в каждой точке x интервала a;b
(x)f(x)(x),
то
Теорема 3 (о среднем). Внутри интервала интегрирования a;b существует хотя бы одно значение x=,, для которого
.
Формула Ньютона – Лейбница.
Теорема 4. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:
, где F(x)=f(x) (2)
Равенство (2) называется формулой Ньютона – Лейбница.
Пример. =.
Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
1. Формула интегрирования по частям:
Формула замены переменной (подстановки):
Пусть x=(u), тогда справедлива формула
Если в интервале u1, u2 функции x=(u), (u) и (u) непрерывны и (u1)=x1, (u2)=x2, то
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы при, не зависящей от способа разбиенияотрезкана частичные отрезки и выбора промежуточных точек, то этот предел называют определённым интегралом (или интегралом Римана) от функцииf(x) на отрезке и обозначают
.
Если , то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функцииосьюOx и двумя прямыми x=a, x=b. Эта фигура называется криволинейной трапецией.
Суммы Дарбу
Пусть на задана ограниченная функция и пусть- произвольное разбиение.,
По определению числа
,
называются соответственно нижней и верхней интегральными суммами Дарбу f, соответствующими разбиению R. Это вполне определенные числа, зависящие от f и R.
Очевидно, что
Число называетсяверхним интегралом функции на . тогда существует точная верхняя грань
называемая нижним интегралом функции на.
Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на
Т е о р е м а 1. Если функция непрерывна на, то она интегрируема на.
Т е о р е м а 2. Функция, определенная на отрезке и монотонная на нем, интегрируема на нем.
Неравенства и теорема о среднем
Т е о р е м а 1. Если f и φ интегрируемы и удовлетворяют неравенству f(x)≤ φ(x) на , то
Т е о р е м а 2. Если f интегрируема на , то
где
Т е о р е м а 3 (о с р е д н е м). Если f и φ интегрируемы на иφ(x)≥0, то
где
С л е д с т в и е. Если в этой теореме f непрерывна на , то найдутся точкитакие, чтоf(x2)=М, f(x1)=m и точка такая, чтопоэтому в случае непрерывной нафункцииf равенство (3) можно записать в виде
(a≤ ≤b).
Вторая теорема о среднем
Т е о р е м а. Если функция φ – неотрицательная неубывающая на отрезке , аf – интегрируемая на , то существует точкатакая, что
Основные свойства определённого интеграла:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) Если .
6)Если .
7) Если - какая-либо первообразная функцииf(x), то справедливо равенство:
которое называется формулой Ньютона-Лейбница.