Неопределённый интеграл

Пусть на интервале задана функция. Если, где, то функцияназывается первообразной функцией функциина интервале. Совокупность первообразных, гдеC – произвольная постоянная, функции , где, называется неопределённым интегралом функции:

.

Основные правила интегрирования:

1) ,

2) ,

3) ,

4) Если , топри условии, чтоa,b – постоянные числа, .

Основные методы интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример.

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция x=j(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х µ множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример.

3. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. В качестве функции u(x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.

Пример 1.

Пример 2.

Таблица простейших интегралов

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. , , . 8. .

9. 10. .

11. 12.

13. .

14. =, .

15. . = .

16. =.

17. 18.

19. 20.

Интегрирование рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, то есть функции, которые можно представить в виде дроби

где P(x), Q(x) – многочлены.

Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим

где W(x) – некоторый многочлен, а R(x) – многочлен степени ниже, чем Q(x).

Пример.

Многочлен W(x) представляет собой линейную комбинацию целых неотрицательных степеней x и поэтому может быть проинтегрирован. Теперь рассмотрим вопрос интегрирования правильной дроби из последнего соотношения.

Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида иа дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом

Интегралы данных дробей приводятся к интегралам следующего вида

Интеграл вычисляется по рекуррентной формуле

Таким образом, можно сделать вывод о том, что всякая рациональная функция может быть проинтегрирована в элементарных функциях.