- •Элементы логики. Функции. Действительные числа.
- •Числовые множества
- •Эквивалентные множества. Конечные и бесконечные множества
- •Бином Ньютона
- •Предел последовательности. Подпоследовательности и частичные пределы
- •Свойства последовательностей имеющих предел (сходящиеся последовательности)
- •Предел функции. Частичный предел функции
- •Непрерывные функции.
- •Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной. Формула Тейлора и её применения.
- •Исследование функций одной переменной с помощью аппарата дифференциального исчисления
- •Неопределённый интеграл
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Интеграл Римана
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла
- •Метод прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл
- •Несобственные интегралы
Предел функции. Частичный предел функции
Предельная точка множества. Предел функции в точке.
Определение 1. Пусть . Число называется предельной точкой множества X, если
.
Из определения следует, что любая окрестность точки содержит точку из множества X, отличную от . Сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.
Определение 2. Значение есть предельная точка множества X, если .
Значение есть предельная точка множества X, если
.
Определение 3. Точка , не являющаяся предельной точкой множестваX, называется изолированной точкой множества X, т. е.
.
Определение 4. Число называется предельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (xn) различных точек, сходящуюся к .
Определения 1 и 4 эквивалентны.
Пусть и - предельная точка множества X.
Определение 5 (Гейне). Функция f имеет предельное значение при (или в точке ), если существует такое число , что для произвольной последовательности (хn) значений ,сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функции (f(xn)) сходится к точке А.
Определение 6 (Коши). Функция f имеет предел при , если
.
При этом число А называем пределом (или предельным значением) функции f в точке х0 и записываем
или .
Определения Гейне и Коши эквивалентны.
Введем понятие одностороннего предела.
Определение 7 (Гейне). Функция f имеет в точке, предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (хn) значений х, , сходящейся к точке при , соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к точке А.
Определение 8 (Коши). Функция f имеет в точке х0 предел слева (справа), если
.
Число А называем пределом слева (справа) функции f в точке и обозначаем
или
Функция f имеет предел в точке х0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой пределы слева и справа.
Теорема (критерий Коши). Функция f имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда
.
Особую роль играют два замечательных предела:
Если , то
.
Ограниченность функции.
Функция , называется ограниченной намножестве X, если существуют числа m и M такие, что .
Непрерывные функции.
Определение 1. Функция ,, называется непрерывной вточке , если выполняется одно из эквивалентных условий:
1) (1)
2) для произвольной последовательности (хn) значений , сходящейсяпри к точке, соответствующая последовательностьзначений функции сходится прик;
3) илипри;
Из определения непрерывности функции f в точке следует, что
.
Определение 2. Если функция f непрерывна в каждой точке интервала , то функция называется непрерывной на этом интервале.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если выполняется одно из эквивалентных условий:
такое, что неравенство (1) выполняется, как только ;
для произвольной последовательности (хn) значений ,сходящейсяпри к точке, соответствующая последовательностьзначений функцииf сходится к .
Функция непрерывна во внутренней точкетогдаи только тогда, когда она в этой точке непрерывна слева и справа.
Теорема 1. Если функция , непрерывна в точке , афункция непрерывна в точке , где, токомпозиция непрерывна в точке t0.
Теорема 2. Пусть функции и,, непрерывны в точке . Тогда функции
непрерывны в точке .
Все элементарные функции непрерывны в области существования.
Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции.
Определение. Если функция не является непрерывной в точке, то говорят, что она терпит разрыв в этой точке. При этом точканазывается точкой разрыва функции.
Точки разрыва функции классифицируем следующим образом:
1. Пусть - точка разрыва функциии существует, конечный или бесконечный. При этом:
а) если конечный, тоназываем точкой устранимого разрыва функции;
б) если , тоназываем точкой разрыва типа полюса.
2. Если не существует, то точкуназываем точкой существенного разрыва функции. При этом:
а) если существуют конечные пределы , то точкуназываем точкой разрыва первого рода функции;
б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго рода функции f.
Равномерная непрерывность.
Определение. Функция называется равномерно-непрерывной на множествеX, если
.
Если функция f не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:
.
Теорема Кантора. Если функция непрерывна на сегменте, то она равномерно непрерывна на этом сегменте.