Задание 3

Пусть A(x) обозначает предикат «x – параллелограмм», B(x) – «x – прямоугольник», C(x) – «x – ромб», D(x) – «x – квадрат», P(x) – «x – равносторонний треугольник», Q(x) – «x – равнобедренный треугольник», R(x) – «x – прямоугольный треугольник». Предикаты A(x), B(x), C(x), D(x) заданы на множестве всех V четырехугольников плоскости, а предикаты P(x), Q(x), R(x) – на множестве W всех треугольников плоскости.

Являются ли предикаты, указанные в пунктах a), b), c), тождественно истинными, выполнимыми или тождественно ложными?

Вариант 0. a) A(x)D(x); b) D(x)A(x); c) R(x)R(x).

Решение

a) Если x – квадрат, то предикат A(x)D(x) обращается в истинное высказывание (из истины следует истина). Если x – параллелограмм, но не квадрат, то этот предикат обращается в ложное высказывание (из истины следует ложь).

Значит, предикат A(x)D(x) выполнимый, но не тождественно истинный.

b) Любой квадрат есть параллелограмм. Значит, предикат D(x)A(x) является тождественно истинным. Приведем и другое решение. Если x – квадрат, то предикат D(x)A(x) обращается в истинное высказывание (из истины следует истина). Если x – четырехугольник, но не квадрат, то этот предикат также обращается в истинное высказывание (ибо ложь влечет что угодно). Значит, для любого xV предикат D(x)A(x) обращается в истинное высказывание, и поэтому будет тождественно истинным.

c) Для любого xW предикат R(x)R(x) обращается в ложное высказывание. Значит, этот предикат является тождественно ложным.

Вариант 1. a) P(x)Q(x); b) B(x)B(x); c) B(x)C(x).

Вариант 2. a) A(x)B(x); b) P(x)Q(x); c) B(x)C(x).

Вариант 3. a) B(x)D(x); b) P(x)R(x); c) B(x)C(x).

Вариант 4. a) B(x)D(x); b) A(x)C(x); c) R(x)Q(x).

Вариант 5. a) A(x)B(x); b) C(x)D(x); c) P(x)Q(x).

Вариант 6. a) P(x)Q(x); b) C(x)C(x); c) B(x)C(x).

Вариант 7. a) A(x)C(x); b) P(x)R(x); c) C(x)B(x).

Вариант 8. a) C(x)D(x); b) A(x)B(x); c) Q(x)R(x).

Вариант 9. a) C(x)D(x); b) A(x)D(x); c) P(x)Q(x).

Вариант 10. a) A(x)C(x); b) B(x)D(x); c) Q(x)R(x).

Задание 4

Даны условия F(x) и G(x), где xR. В предложении «Для того чтобы выполнялось неравенство F(x), …, выполнялось условие G(x)» вместо многоточия вставьте слова «необходимо и достаточно», «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо», «не необходимо и не достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание.

Вариант 0.

Пункты	F(x)	G(x)
a)	x^23x20	x1
b)	x^2x20	2x1
c)	x^2x20	x1x1
d)	x^23x20	2x1

Решение

Условие G(x) необходимо (достаточно) для условия F(x), если предикат F(x)G(x) (соответственно, G(x)F(x)) тождественно истинный.

a) Каждый раз мы вначале решаем неравенство F(x). Из решения неравенства F(x) мы получим, что предикаты x²3x20 и x2x1 логически равносильны. По определению дизъюнкции, из предиката x1 логически следует предикат x2x1. Следовательно, из предиката x1 логически следует предикат x²3x20, т.е. предикат G(x)F(x) тождественно истинный.

Предикат F(x)G(x) обращается, например, при x2, в ложное высказывание, значит, предикат F(x)G(x) не является тождественно истинным.

Вывод: условие G(x) достаточно, но не необходимо для условия F(x).

b) Из решения неравенства F(x) следует, что предикаты x²x20 и 2x1 логически равносильны. Значит, предикат F(x)G(x) тождественно истинный.

Вывод: условие G(x) необходимо и достаточно для условия F(x).

c) Предикаты x²x20 и x1x2 логически равносильны. Из неравенства x2 следует неравенство x1. Отсюда, по таблице истинности для дизъюнкции, получим, что из предиката x1x2 логически следует предикат x1x1, т.е. предикат F(x)G(x) тождественно истинный.

Предикат G(x)F(x) не является тождественно истинным (обращается в ложное высказывание, например, при x2).

Вывод: условие G(x) необходимо, но не достаточно для условия F(x).

d) Предикаты x²3x20 и 1x2 логически равносильны. Ясно, что ни один из предикатов 1x2 и 2x1 не следует друг из друга. Однако мы подтвердим примерами, что предикаты F(x)G(x) и G(x)F(x) не являются тождественно истинными. Предикат F(x)G(x) обращается в ложное высказывание при x2, а предикат G(x)F(x) – при x2.

Вывод: условие G(x) не необходимо и не достаточно для условия F(x).

Ответ: a) достаточно, но не необходимо; b) необходимо и достаточно;

c) необходимо, но не достаточно; d) не необходимо и не достаточно.

Вариант 1			Вариант 2
Пункты	F(x)	G(x)	Пункты	F(x)	G(x)
a)	x^25x60	3x2	a)	x^28x150	5x3
b)	x^2x60	x2x2	b)	x^22x150	x4x2
c)	x^2x60	x1x6	c)	x^22x150	x3
d)	x^25x60	x3	d)	x^28x150	4x5
Вариант 3			Вариант 4
Пункты	F(x)	G(x)	Пункты	F(x)	G(x)
a)	x^27x100	5x2	a)	x^27x60	6x1
b)	x^22x100	x2x1	b)	x^25x60	x5x3
c)	x^22x100	x5x2	c)	x^25x60	6x1
d)	x^27x100	x3x4	d)	x^27x60	2x5

Вариант 5			Вариант 6
Пункты	F(x)	G(x)	Пункты	F(x)	G(x)
a)	x^210x160	8x2	a)	x^27x120	4x3
b)	x^26x160	x1	b)	x^2x120	x3x3
c)	x^26x160	x1	c)	x^2x120	x1x12
d)	x^210x160	x3x7	d)	x^27x120	x3
Вариант 7			Вариант 8
Пункты	F(x)	G(x)	Пункты	F(x)	G(x)
a)	x^210x240	6x4	a)	x^29x180	6x3
b)	x^22x240	x5x2	b)	x^23x180	x1x2
c)	x^22x240	x2	c)	x^23x180	x6x2
d)	x^210x240	5x6	d)	x^29x180	x4x5
Вариант 9			Вариант 10
Пункты	F(x)	G(x)	Пункты	F(x)	G(x)
a)	x^29x80	8x1	a)	x^210x210	7x3
b)	x^27x80	x3x5	b)	x^24x210	x0
c)	x^27x80	8x1	c)	x^24x210	x0
d)	x^29x80	3x6	d)	x^210x210	x4x6