Задание 8

Задана функция f, определенная на множестве DR и со значениями из множества R. Укажите ее область определения D.

Постройте график функции f.

Является ли отображение f: DR инъекцией, сюръекцией или биекцией?

Вариант 0. a) f(x)x; b) f(x)x; c) f(x)xx1x1; d) f(x).

Решение

Функция yf(x), определенная на множестве A и со значениями из множества B, называется: инъекцией, если выполнено условие:

(I) x₁,x₂A (f(x₁)f(x₂)x₁x₂);

сюръекцией, если выполнено условие:

(II) yB xA yf(x);

биекцией, если является и инъекцией, и сюръекцией.

Условие (I) означает, что для любого yB имеется не более одного прообраза xA. Условие (II) означает, что для любого yB имеется хотя бы один прообраз xA. Конъюнкция условий (I) и (II) означает, что для любого yB имеется ровно один прообраз xA.

Элемент xA называют прообразом элемента yB, если yf(x).

То, что функция f – инъекция, также означает, что все горизонтали yb, где bB, пересекают график f не более чем в одной точке.

То, что функция f – сюръекция, также означает, что все горизонтали yb, где bB, пересекают график f хотя бы в одной точке.

То, что функция f биекция, также означает, что любая горизонталь yb, где bB, пересекает график f ровно в одной точке.

a) DR. Значит, функции f: RR и отображение f: DR – это одно и то же.

Легко увидеть, что для отображения f выполнены оба условия (I) и (II). Значит, функция f является и инъекцией, и сюръекцией, и биекцией.

График функции f – прямая yx. И по графику видно, что f – биекция: любая горизонталь пересекает график прямую yx ровно один раз.

y

yx

0 x

b) DR. Функция f – не инъекция, так как, например, f(1)f(1)1, но 11.

Функция f – не сюръекция, так как, например, элемент y2 не имеет прообраза, то есть xR 2f(x).

y

yx

1

1 0 1

2

c) DR. Функция f – не инъекция, так как, например, элемент y1 имеет два прообраза 1 и 3.

Функция f – сюръекция, так как каждый элемент y имеет хотя бы один прообраз x, или, иначе, любая горизонталь пересекает график функции f хотя бы в одной точке.

y

yxx1x1

1

1 0 3 x

d) D[0,). Действительно, выражение x(3xx) равно 2x², если x0, и равно 4x², если x0. Отсюда следует, что функция f не определена, если x0, и функция f определена и, при этом y равно 2x, если x0.

Отображение f: DR – инъекция. В самом деле, каждый элемент y имеет не более одного прообраза x.

Отображение f: DR не является сюръекцией. В самом деле, для каждого отрицательного значения y не существует ни одного прообраза

y

y.

2

x

2

Ответ: a) биекция; b) не инъекция и не сюръекция;c) сюръекция, но не инъекция ; d) инъекция, но не сюръекция.

. Вариант 1 a) f(x);b) f(x)tg x; c) f(x)x²8x13; d) f(x)(x4)³3.

Вариант 2. a) f(x)2^x34; b) f(x)x3x4; c) f(x)sin x; d) f(x)log₂(x3).

Вариант 3. a) f(x); b) f(x)ctg x; c) f(x)x²2x3; d) f(x)(x1)³2.

Вариант 4. a) f(x)3^x21; b) f(x)x2x1 c) f(x)cos x; d) f(x)log₃(x2).

Вариант 5. a) f(x); b) f(x)xx1x ;c) f(x); d) f(x)xxx1.

Вариант 6. a) f(x); b) f(x)ctg x; c) f(x)x²6x13; d) f(x)(x3)³4.

Вариант 7. a) f(x)2^x43; b) f(x)x4x3; c) f(x)cos x; d) f(x)log₃(x4).

Вариант 8. a) f(x); b) f(x)tg x; c) f(x)x²4x3; d) f(x)(x2)³1.

Вариант 9. a) f(x)3^x12; b) f(x)x1x2; c) f(x)sin x ; d) f(x)log₂(x1).

Вариант 10. a) f(x);b) f(x)xxx1; c) f(x);d) f(x)xx1x.

Задание 9

Задана матрица бинарного отношения P на конечном множестве M1,2,3,4,5. Запишите отношение P при помощи перечисления упорядоченных пар. Постройте граф отношения P. Установите свойства отношения P (объяснить при помощи определения свойств и при помощи графов).

Вариант 0.

P	1	2	3	4	5
1	0	1	1	1	0
2	0	1	0	1	0
3	0	1	1	0	0
4	0	1	0	1	0
5	0	1	1	1	0

Решение

Упорядоченная пара (x,y)MM принадлежит отношению P тогда и только тогда, когда в матрице отношения P на пересечении строки со значениями x и столбца со значениями y находится 1. Поэтому

P(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,3),(4,2),(4,4),(5,2),(5,3),(5,4).

Чтобы построить граф отношения P, элементы множества M изобразим в виде точек 1, 2, 3, 4, 5. Каждую упорядоченную пару (x,y)P изобразим в виде стрелки, направленной из точки x в точку y. Получим следующий граф бинарного отношения P:

2 

 