Задание 5

Докажите, исходя теоретико-множественных определений и проиллюстрируйте при помощи диаграмм Венна следующее равенство множеств:

Вариант 0. A\(B\C)(A\B)(AC).

Решение

1-й способ. Два множества X и Y равны, если XY и YX.

Докажем включение: (i) A\(B\C)(A\B)(AC).

Пусть xA\(B\C). Тогда, по определению разности множеств, xA и xB\C. Элемент x не принадлежит разности множеств B и C, если xB или xC. Рассмотрим два случая: 1) xA и xB; 2) xA и xC. В первом случае, по определению разности множеств, xA\B, а во втором случае, по определению пересечения множеств, xAC. Объединяя два случая, по определению объединения множеств, мы получим x(A\B)(AC).

Докажем включение: (ii) (A\B)(AC)A\(B\C).

Пусть x(A\B)(AC). Тогда, по определению объединения множеств, xA\B или xAC. В первом случае, в силу определения разности множеств, xA и xB, а во втором случае, в силу определения пересечения множеств, xA и xC. В первом случае, из xB следует, что xB\C, а во втором случае, из xC также следует, что xB\C. В обоих случаях, xA и xB\C, то есть, по определению разности множеств, xA\(B\C).

Из включений (i) и (ii) следует равенство A\(B\C)(A\B)(AC).

2-й способ. Множества A, B, C, расположенные на диаграмме Венна в виде кругов в самом общем случае, разбиваются на 7 частей. Эти множества мы одинаково изобразим на двух диаграммах. На левой диаграмме мы последовательно находим множества B\C и A\(B\C), а на правой – множества A\B, AC и (A\B)(AC). Видно, что множества A\(B\C) и (A\B)(AC) состоят из одинаковых частей, поэтому они равны.

Вариант 1. A\(BC)=(A\B)(A\C)

Вариант 2. (AB)C=(AC)(BC)

Вариант 3. (AB)\C=(A\C)(B\C)

Вариант 4. (AB)C=(AC)(BC)

Вариант 5. (A\B)C=(AC)\(BC)

Вариант 6. A\(BC)=(A\B)(A\C)

Вариант 7. A(BC)=(AB)(AC)

Вариант 8. (AB)\C=(A\C)(B\C)

Вариант 9. A(BC)=(AB)(AC)

Вариант 10. A (B\C)=(AB)\(AC)

Задание 6

Изобразите графики декартовых произведений AB, BA, AA и BB, если:

Вариант 0. A=[0,4]{5}, B=[0,1)(1,).

Решение

График декартового произведения AB – это множество всех точек, имеющих координаты (a,b), где aA и bB.

Множество всех точек с абсциссой xA[0,4]{5} состоит из вертикальной полосы с граничными линиями x0 и x4 и вертикальной линии x5.

Множество всех точек с ординатой yB[0,1)(1,) состоит из верхней полуплоскости с вычеркнутой горизонтальной линией y1.

Пересечение этих двух фигур будет графиком AB.

Пустые кружочки означают отсутствие точки в графике. Пунктирная линия показывает, что эта линия вычеркнута из графика.

Графики BA, AA и BB строятся аналогично.

Вариант 1. A(,1){3,4} и B[2,1][1,2]

Вариант 2. A{1,2,3} и B(1,1)(1,2)(2,)

Вариант 3. A{1}[2,3) и B(,1)(1,2]

Вариант 4. A[2,3)(3,5] и B(1,2)[3,)

Вариант 5. A{3,1,1,3} и B(,2][3,)

Вариант 6. A[3,1)[1,3) и B[1,3][4,)

Вариант 7. A[1,2][3,4] и B{2,1}[1,)

Вариант 8. A(,3][4,5) и B{1,2}[3,4]

Вариант 9. A[2,3)(3,) и B{1,2,3,4,5}

Вариант 10. A(,1][1,) и B[1,2)(2,3]