13. Надежность при последовательном и параллельном соединениях элементов.

Надежность при последовательном соединении

P_i - вероятность безотказной работы i-го элемента.

Для экспоненциального закона распределения или стационарного Пуассоновского потока

Тогда вероятность безотказной работы будет равна , или это равно

,

Надежность при параллельном соединении

Вероятность безотказной работы всей системы

При условии вероятность безотказной работы равна

При увеличении числа параллельно включенных элементов вероятность безотказной работы системы растет, однако абсолютный прирост при этом уменьшается.

14. Надежность при сочетании последовательном и параллельном соединениях элементов.

Вероятность безотказной работы первой цепочки p’=pⁿ

Тогда вероятность отказа цепочки Q’=1-pⁿ

Вероятность отказа всей системы будет равна Q=(1-pⁿ)^m

Следовательно вероятность безотказной работы P=1-(1-pⁿ)^m

Во 2-ом случае последовательно соединены n групп по m параллельно соединенных узлов или блоков.

Вероятность отказа одного элемента равна Q’=1-p

Вероятность отказа всей группы Q’’=(1-p)^m, а вероятность безотказной работы равна P’’=1-(1-p)^m

Следовательно вероятность безотказной работы всей системы равна P=1-(1-p)^mⁿ

Рассмотренные формулы для последовательно - параллельного соединения элементов, полученные при условии одинаковой надежности каждого элемента можно распространить и на более общий случай, когда надежности элементов будут разными.

15. Надежность при мостиковой схеме соединения элементов (метод преобразования состояний).

Поскольку при условии независимости отказов вероятность каждого из работоспособных состояний системы определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях, то при числе состояний, равном m, вероятность безотказной работы системы будет

где: p - вероятность безотказной работы элемента

q - вероятность отказа элемента и соответственно вероятность отказа

где: m - общее число работоспособных состояний, в каждом j-том из которых число исправных элементов равно _j, а неисправных (неработоспособных) k_j.

16. Надежность при мостиковой схеме соединения элементов (метод разложения относительно особого элемента).

Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности. При этом в сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния которого образуют полную группутогда если рассматривается состояние системы А, то вероятность нахождения в этом состояниив нашем случае n=2. (Состояния системы при определенных состояниях особого элемента. Особый элемент может находиться в двух состояниях исправных и неисправных).

P{A/H_i} - условная вероятность -вероятность нахождения в состоянии А при условии что особый элемент находится в состоянии Н_i.

Обычно особый элемент может находится в двух состояниях (1 работ., не работ.).

В мостиковой схеме в качестве особого элемента примем эл.5 в двух его состояниях: исправен - наличие цепи; неисправен - отсутствие цепи.

P{H₁}=P₅, P{H₂}=q₅

Тогда от структурной схемы (рис.27) мостиковой схемы при состоянии Н₁ имеем

Логическая схема надежности при исправном элементе 5

при состоянии Н₂ имеем

Логическая схема надежности при неисправном элементе 5

Если состояние А и A’- наличие цепи между а-в, т.е. вероятность безотказной работы.

Пример:

P₁(A)=P₅(1-q₁q₂)(1-q₃q₄)=0,882

P₂(A)=q₅[1-(1-p₁p₃)(1-p₂p₄)]=0,0964

P{A}= P₁{A}+P₂{A}=p₅(1-q₁q₂)(1-q₃q₄)+q₅[1-(1-p₁p₃)x

x(1-p₂p₄)]=0,882+0,0964=0,978