27. Связь между показателями надежности λ(t), f(t) и (или) p(t); q(t).
Связь между
иP(t)
и (или) Q(t)
статистическое
определение (t)
имеет вид
Рассмотрим теперь
как непрерывную функцию, для чего
устремим
,
тогда
(*)
Но N(t) можно определить как N(t)=N(0)-N(0)·Q(t)=N(0)·(1-Q(t))=N(0)·P(t) (**)
Подставим значение () в () получим
(15)
Но очертанная часть выражения (15) - это есть не что иное, как f(t), тогда имеем
(16) или
Из (16) следует что
,
т.к.P(t)
1
28. Связь между показателями надежности λ(t) и p(t).
Связь между
иP(t)
(**)
Проинтегрируем левую и правую часть выражения () в пределах от 0 до t
введем обозначение
x=P(t),
тогда
,
ноP(0)=1,
а ln1 = 0,
(e0=1),
тогда
или
Основное выражение
в теории надежности
1-ая форма записи
основного закона надежности
(17)
Напомним, вторая форма записи имеет вид
Предположим, что
,
тогда из (17) следует
(18)
29. Связь между показателями надежности Tср и р(t).
Связь между T и P(t).
Среднее время работы объекта до отказа или наработка на отказ является не чем инным, как математическим ожиданием случайного времени безотказной работы объекта Q.
Тогда для непрерывной величины времени t при известном законе плотности распределения f(t) имеем
(19)
Выражение (19) проинтегрируем по частям. Для этого произведем замену переменных t=u, du=dt, P(t)=V, dP(t)=dV
Тогда имеем
P()=0
(20)
Подставим в (20)
значение P(t)
из 18 при условии что
,
тогда
33. Определение показателей надежности по данным репрезентативной выборки. Репрезентативная выработка - это токая выработка из генеральной совокупности, параметры которой с достаточной достоверностью характеризуют саму генеральную совокупность.
Определение показателей надежности рассмотрим на следующем примере.
Определение вероятности безотказной работы производят по формуле (2)
Оценку интенсивности отказов определим по формуле (8).
;
Оценку среднего времени наработки до отказа определим по формуле (10).
34. Определение показателей надежности по данным выборки малого объема.
В математической статистике разработаны методы, которые позволяют по выборке малого объема составить определенное представление по всей генеральной совокупности.
Для определения вероятности безотказной работы и интенсивности отказов используем имперические формулы, выведенные из опыта математической статистики для случая малых выборок.
Оценка вероятности безотказной работы для случая малых выборок равна
(22)
где: n - объем выборки
i - номер появления отказа
Оценка интенсивности отказов производится по формуле
(23)
Оценка среднего времени наработки на отказ определим по формуле - (9)
35 Определение показателей надежности при распределении времени возникновения отказов по закону Вейбула. Пусть известно, что время работы объекта до отказа хорошо согласуется с распределением Вейбулла, функция распределения которого имеет вид
(24)
А-определяет масштаб распределения;
К-определяет асимметрию и эксцесс распределения;
(25)
Найдем теперь выражения (математические модели) для определения показателей надежности.
Вероятность безотказной работы при распределении Вейбулла будет равна
(26)
Частость отказов равна плотности распределения и равна
(27)
Интенсивность отказов
(28)