Величины средние

пе могут служить любые действительные числа из к.-л. отрезка. Примером дис­кретной случайной величины может слу­жить возраст, измеренный на основе от­несения респондента к одному из нес к. возрастных интервалов (1 — возраст от 15 до 20 лет; 2 — возраст от 20 до 25 лет и т.д.). Непрерывной В.с. явл. тот же возраст, к-рый мы мыслим измеряемым с любой степенью точности. Для социо­лога особое значение имеют нечисловые В.с. (см. Данные нечисловые, Статисти­ка объектов нечисловой природы). Поиск любой интересующей социолога стат. за­кономерности сводится к поиску пара­метров распределения (см. Распределение вероятностей) нек-рой В.с.

Само понятие «вероятность» сопря­жено с совокупностью генеральной. По­этому то же можно сказать и о понятии «В.с.». При изучении совокупности вы­борочной вместо В.с. ξ, η, ζ... (для их обозначения часто используются греч. буквы) фигурируют признаки х, у, ζ... (используются созвучные лат. буквы). В таком случае речь должна идти не о вероятности попадания значения В.с. в нек-рое подмножество ее значений, а об относительной частоте такого попа­дания.

В соц-и остро стоит вопр. о выделе­нии таких подсовокупностей объектов, для к-рых значение того или иного при­знака действительно можно рассматри­вать как проявления одной и той же В.с, т.е. подсовокупностей, однородных в соотв. смысле. Речь идет о подсово­купностях, для к-рых осмыслено само понятие «В.с». Разным подсовокупно­стям могут отвечать разные распределе­ния рассматриваемого признака, т.е. разные В,с. И смешение их друг с другом приведет к некорректности ис­пользования матем. аппарата поиска стат. закономерностей.

В социол. иссл-ях часто имеет смысл сопоставлять понятие «В.с.» с каждым рассматриваемым объектом, предполагая при этом, что все такие величины явл. независимыми (см. Теория вероятно­стей) и имеют одинаковые распределения вероятностей. Так, изучая мнения рес-

пондентов, напр., относительно их удов­летворенности жизнью, понятие «В.с.» имеет смысл связывать с одним респон­дентом. В таком случае предполагается, что мнение респондента о собственной удовлетворенности, вообще говоря, не однозначно (плюралистично), зависит от множества не поддающихся учету слу­чайных факторов (настроения, способ­ности объективно оценить свои чувства, воздействия интервьюера и т.д.). В кач-ве «истинной» удовлетворенности респон­дента рассматривается матем, ожидание (см. Величины средние) соотв. распреде­ления.

Вектору = (φ,, <pj, ..., φ„),где<р_г- (;' = 1, .,., ri) — нек-рые B.C., называется мно­гомерной В,с. Для нее также опред. по­нятие распределения вероятностей, по существу исчерпывающее все ее свойст­ва. Все сказанное выше обобщается на многомерный случай.

Лит.: Случайная величина // Матем. энциклопедия. Т. 5. М., 1985; Толсто-ва Ю.Н. Анализ социол. данных; Мето­дология, дескриптивная статистика, ана­лиз связей между номинальными при­знаками. М., 2000; Елисеева ИИ. и др. Теория статистики с основами теории вероятностей. М., 2001.

Ю.Н. Толстова

ВЕЛИЧИНЫ СРЕДНИЕ - абстракт­ная, общая характеристика нек-рой со­вокупности единиц (рез-тов наблюде­ний, значений случайной величины и т.д.), показатель их среднего уровня, часто интерпретируемый как типичная единица совокупности (хотя средняя не обязательно явл. членом последней). Анализ В.с. позволяет глубже понять особенности изучаемой совокупности, абстрагироваться от случайных и неслу­чайных колебаний ее элементов.

Существует огромное кол-во видов В.с. Наиб, глубоко развита теория В.с. для такого случая, когда в кач-ве единиц χι, ..., х_я исходной совокупности высту­пают действительные числа. Имеется ряд способов свести такие В.с. к неболь­шому кол-ву формул.

56

ВЕЛИЧИНЫ СРЕДНИЕ

Наиб, широкое определение В.с. — это т.н. средние по Коши. Функция βχι, ..., х„), принимающая действитель­ные значения, называется средней по Коши совокупности чисел х\,..., χ,, если:

minx < fix,, ..., х„) < maxx.

Все известные В.с. явл. средними по Коши. Взвешенные средние опред. след. образом:

fix,, ..., х„) = а,л(1) + <%*(2) + ... а_их{п),

где а\, ..., а„ — действительные числа, удовлетворяющие условиям а₁ +... + а„ = 1; я, > 0, / = 1, ..., п; хЦ) <х(2) < ... <х(п) — вариационный ряд, построенный по сово­купности Λι, ..., х_п. При ίΐ| = ... = а„ = 1/я взвешенная средняя превращается в среднее арифметическое

χ =

Х[ +

Для п = 2к + 1 (нечетного) при α* +1 = 1 функция / превращается в ме­диану Me = χ(fe+ 1), а для п=2к (четно­го) при д* = at + != 1/2 — в медиану _{Мс =} -*(*> + 4^ + 1) 2

При «_[lt/4| = 1 ИЛИ ff[j_i/4] = 1 — соотв. в

верхний и нижний квартили х(\к/А]) и х([ЗА/4]) (прямые скобки означают це­лую ч. заключенного в них выражения; напомним, что целая ч. к.-л. величи­ны — это наиб, число, не превосходящее эту величину).

Известно много попыток охарактери­зовать В.с. с помощью систем аксиом (см. Метод аксиоматический). Естеств. система аксиом приводит к такому об­щему виду средней:

fix,,.... х„) = F'\- £/-(х»,

где F — строго монотонно возрастающая или убывающая функция; F~^l — функция, обратная ей. При F{z) = ζ, \αζ, ζ\ ζ"¹ приведенная формула превращается в среднее арифметическое, среднее гео­метрическое

J\Xl, ..., X,) — iJ/Jij, ..., X_n

среднее гармоническое

_{/и,..., *.)=<}^!/_* ⁺ _•"^+1/_ν,

η среднее квадратическое

\х\ + ... +XJ

i η ■

Работа по аксиоматизации теории В.с. продолжается и в наст, время.

Особое значение в социол. иссл-ях играют В.с, являющиеся характеристи­ками распределения вероятностей рас­сматриваемых величин случайных, В та­кой ситуации В.с. обретают своеобраз­ную область применимости (связанную с типом шкал, используемых для получе­ния исходных данных), опред. выше средние иначе интерпретируются.

В первую очередь следует назвать ма-тем. ожидание величины случайной. Если случайная величина имеет дискретное распределение с возможными значения­ми Х|, ..., х, и соотв. им вероятностями Pi, ..., р,„ то матем. ожидание опред. по формуле

μ=Εφ= £ду>*.

Если φ имеет непрерывное распреде­ление с плотностью вероятности (см. Распределение вероятностей) р(х), то

μ = Εφ = ί xp(x)dx,

где A —- область изменения φ.

С помощью матем. ожидания опред. мн. характеристики распределения, напр., дисперсия, ковариация (см. Меры рас­сеяния). Матем. ожидание есть характе­ристика расположения значений слу­чайной величины, среднее значение ее распределения. В этом кач-ве матем. ожидание служит нек-рым типичным параметром распределения (см. Распре­деление вероятностей) и его роль анало­гична роли координаты центра тяжести распределения массы в механике. Одна­ко специфика социол. задач приводит иногда к таким ситуациям, когда анализ самого понятия «типичность» обуслов­ливает необходимость использования для наиб, типичного объекта не матем. ожидания, а др. видов средних.

57