3. Сложение и умножение вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события
3.1.. Три стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель равны соответственно 0,6; 0,7; 0,9. Определить вероятность двух промахов.
3.2. На тепловой электростанции работают 15 сменных инженеров, из них три женщины. В смену занято три человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух.
3.3. Радист трижды вызывает корреспондента, причем последующий вызов производится при условии, что предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4 и третий - 0,5. Определить вероятность вызова корреспондента.
3.4. Вероятность того, что противник находится на обстреливаемом участке, равна 0,7; вероятность попадания в этом случае равна 0,6. Для поражения достаточно одного попадания. Найти вероятность поражения при двух выстрелах.
3.5. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором - три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.
3.6. На четырех карточках написаны буквы, составляющие слово "лиса". Какова вероятность того, что при случайной раскладке карточек получится слово "сила"?
3.7. Определить вероятность выхода из строя шестилампового приемника, если вероятность отказа любой лампы в течение заданного срока эксплуатации равна 0,1. Приемник выходит из строя при отказе любой лампы.
3.8. В ящике имеется десять деталей, из них восемь деталей I сорта и две детали II сорта. Из ящика наугад берут четыре детали. Какова вероятность того, что среди них не будет ни одной II сорта?
3.9. Мишень состоит из яблока и трех колец. Вероятность попадания в яблоко равна 0,3, в первое кольцо - 0,2, во второе - 0,1. Определить вероятность попадания в яблоко и первое кольцо.
3.10. Вероятность наступления некоторого события в каждом испытании одинакова и равна 0,3. Испытания производятся до наступления события. Определить вероятность того, что для этого потребуется произвести не более 4 испытаний.
3.11. На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верх ботинок. Дефектными оказываются 0,5% каблуков, 2% подметок и 4% верха. Произведенные каблуки, подметки и верх случайно комбинируются в цехе, где шьют ботинки. Какое событие, должно иметь место, чтобы пара ботинок не содержала дефектов, чему равна его вероятность?
3.12. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производят последовательно до наступления события. Определять вероятность того, что придется производить четвертый опыт.
3.13. Круговая мишень состоит из яблока и кольца. Вероятность попадания при одном выстреле в яблоко равна 0,5, в кольцо - 0,3. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будут три попадания в яблоко и один промах.
3.14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. По мишени стреляет одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет, сделано не более 3 выстрелов.
3.15. Вероятность того, что в результате трех независимых испытания событие появится хотя бы один раз, равна 0,936. Определить вероятность появления события в каждом испытании, если она от испытания к испытанию не меняется.
3.16. В одной урне имеется пять белых и пять черных шаров, во второй - три белых и семь черных. Из каждой урны извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что будет извлечен хотя бы один белый шар?
3.17. Две радиолокационные станции обзора следят за появлением самолетов. Первая станция может обнаружить самолет с вероятностью 0,85, вторая - с вероятностью 0,9. Какова вероятность обнаружения самолета хотя бы одной станцией?
3.18.. Испытываются четыре двигателя. Вероятность отказа двигателя равна 0,08. Какова вероятность того, что откажет хотя бы один двигатель?
3.19. Три стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель равны соответственно 0,6; 0,7 и 0,9. Определить вероятность хотя бы одного попадания.
3.20. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов.
3.21. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение 1 ч первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго станка она равна 0,8, для третьего - 0,9, для четвертого - 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа, по крайней мере, один станок потребует к себе внимания рабочего.
3.22. Достигшему 60-летнего возраста вероятность умереть на 61-м году равна в определенных условиям 0,09. Какова в этих условиях вероятность, что из 3 человек в возрасте 60 лет, по крайней мере, один из них будет жив?
3.23. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета. Какова вероятность выигрыша хотя бы на один билет?
3.24. Вероятность того, что в результате 4 независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна 1/2. Определить вероятность появления события при одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.
3.25. Имеется электрическая схема, состоящая из двух дублирующих друг друга цепей. Вероятность безотказной работы первой цепи в течение заданного времени равна 0,9, второй - 0,3. Вероятность безотказной работы хотя бы одной цепи равна 0,89. Определить вероятность того, что обе цепи будут одновременно работать безотказно.
4. Полная вероятность. Формула Байеса
4.1. Имеются две урны: в первой шесть белых и девять черных шаров, во второй - пять белых и семь черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
4.2. В первой урне два белых и четыре черных шара, а во второй - три белых и один черный. Из первой урны переложили во вторую два шара. Найти вероятность того, что шар, вынутый из второй урны после перекладывания, окажется белым.
4.3. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина? Считать, что количество мужчин и женщин одинаково.
4.4. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.
4.5. Орудийная батарея состоит из четырех орудий; два орудия попадают в цель при одном выстреле с вероятностью 0,6, а два - других- с вероятностью 0,7. Для поражения цели достаточно двух попаданий, а при одном попадании вероятность поражения цели равна 0,6. Одно из орудий выстрелило дважды. Найти вероятность поражения цели.
4.6. На наблюдательной станции установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,86, второго - 0,90, третьего - 0,92, четвертого -0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов, Какова вероятность обнаружения цели?
4.7. С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго -35%, о третьего – 25% деталей. Среди деталей первого автомата 0,2%бракованных, второго - 0,3%, третьего - 0,5%. Найти вероятность того, что:
а) поступившая на сборку деталь оказалась бракованной;
б) деталь, оказавшаяся бракованной, изготовлена на втором автомате.
4.8. Для контроля качества продукции из трех партий деталей взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей - бракованные, а в двух других - все доброкачественные.
4.9. Имеются две партии одинаковых изделий по 15 и 20 шт., причем в первой партии два, а во второй - три бракованных изделия. Наугад взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наугад одна изделие из второй партии. Определить вероятность того, что выбранное изделие является бракованным.
4.10. Среди шести винтовок пристрелянными оказываются только две. Вероятность попадания из пристрелянной винтовки равна 0,9, а из непристрелянной - 0,2. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристрелянная винтовка.
4.11. В коробке находятся 100 деталей, 10 из них - бракованные. При перевозке одна деталь была утеряна. Какова вероятность того, что взятая наудачу из коробки деталь оказалась бракованной?
4.12. Счетчик регистрирует частицы трех типов: А, В и С. Вероятность появления этих частиц Р(А)=0,2, Р(В)=0,5, Р(С)=0.3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями р=0,8, р=0,2, р=0,4.и отмечает эту частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В.
4.13. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,8. Найти вероятность того, что выстрел произведен вторым стрелком.
4.15. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего - 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% с первого завода, 20% - со второго, и 50%-с третьего.
4.15. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбирают два мяча, которые после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
4.16. Предположим, что надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90%, т.е.10% носителей туберкулеза остаются неопознанными. Вероятность того, что у здорового человека будет ошибочно определен туберкулез, составляет 1%. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним процентом больных 0,1. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, действительно является носителем туберкулеза?
4.17. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая-35% и третья 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 20%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт - дефектный?
4.18. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматических станков. Первый автомат дает 3% брака, второй – 1%, третий-2%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 500, 200 и 300 деталей.
4.19. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся пять белых и пять черных шаров, во второй - три белых и два черных, и третьей - семь белых и три черных. Из одной наугад выбранной урны взят шар. Найти вероятность того, что шар черный.
4.20. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой урне - три белых и три черных шара, во второй - два белых и шесть черных, в третьей - пять белых и два черных. Из одной наугад выбранной урны взят шар. Найти вероятность того, что шар белый.
4.21. Три торпедных катера атакует авианосец. Каждый катер выпускает по одной торпеде. Вероятность попадания торпеды в авианосец равна 0,7. Потопление авианосца при попадании трех торпед происходит с вероятностью 0,9, двух торпед - с вероятностью 0,6 и одной торпеды - с вероятностью 0,2. Определить вероятность потопления корабля.
4.22. При разрыве снаряда образуется 10% крупных осколков, 60% средних и 30% - мелких. Вероятность пробивания брони крупным осколком равна 0,7, средним - 0,2 и мелким - 0,05. Известно, что в броне попал один осколок. Определить вероятность того, что броня пробита.
4.23. В двух ящиках лежат однотипные детали: в первом ящике восемь исправных и две бракованные, во втором - шесть исправных и четыре - бракованные. Из первого ящика наугад взяты две детали, а из второго - одна деталь. Детали, перемешав, поместили в третий ящик, откуда наугад взяли одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь исправна.
4.24. Имеется четыре партии деталей. В первой партии 3% брака, во второй - 4%, в третьей и четвертой брака нет. Какова вероятность того, что взятая деталь принадлежит первой партии, если она оказалась бракованной?
4.25. Из урны, в которой имелось четыре черных и шесть белых шаров, потерян шар неизвестного цвета. Чтобы определить состав шаров, из нее наудачу извлекли два шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что был утерян белый шар.