5. Схема Бернулли

5.1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равняется 0,7. Какова вероятность того, что в результате шести независимых выстрелов будет более трех попаданий?

5.2. Рабочий обслуживает десять однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение 1 ч, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течение 1 ч этих требований будет от трех до пяти.

5.3. По данным технического контроля в среднем 2% изготовляемых на заводе автоматических станков нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из шести изготовленных станков четыре нуждаются в дополнительной регулировке?

5.4. В хлопке содержится 10% коротких волокон. Определить вероятность того, что среди отобранных наудачу шести волокон окажется не более двух коротких.

5.5. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,1, при втором - 0,2 и при третьем - 0,3. Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель поражается с вероятностью 0,6. Найти вероятность поражения цели.

5.6. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих баскетболистов будет равное число попаданий.

5.7. В магазине для студенческих общежитии приобретено 5 телевизоров. Для каждого из них вероятность невыхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,8. Определить вероятность того, что 4 телевизора в течение гарантийного срока не выйдут из строя.

5.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равняется 0,7. Какова вероятность того, что в результате шести независимых выстрелов будет не менее пяти попаданий?

5.9. 30% изделий данного предприятия - продукция высшего сорта. Некто приобрел шесть изделия, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того, что четыре из них высшего сорта?

2.4.10. Какова вероятность того, что из десяти читателей, пришедших в специальную библиотеку, пять возьмут книги только по радиотехнике, если каждый читатель независимо друг от друга берет только одну книгу и вероятность взять книгу по радиотехнике равна 0,3?

5.11. Из последовательности чисел 1, 2, 3, … , 99, 100 выбирают наугад с возвращением 10 чисел. Чему равна вероятность того, что среди них кратных семи будет не более двух?

5.12. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель практически не поражается. Найти вероятность поражения цели.

5.13. Бомбардировщик производит по объекту шесть независимых бомбометаний, сбрасывая каждый раз по одной бомбе, причем вероятность попадания в цель каждой бомбы равняется 0,4. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого потребуется не менее трех попаданий.

5.14. В магазин вошли восемь покупателей. Найти вероятность того, что три из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,3.

5.15. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя восемь облигаций, выиграет по 6 из них?

5.16. По самолету производится четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,1. Чтобы вывести самолет из строя, достаточно трех попаданий. При одном попадании вероятность вывода самолета из строя равна 0,6, при двух - 0,8. Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя.

5.17. Определить вероятность того, что номер первой встретившееся автомашины не содержит двух и более пятерок.

5.18. Вероятность хотя бы одного раза появления события А при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

5.19. Вероятность того, что расход электроэнергии на механическом заводе не будет превышать 10000 квт/ч в рабочий день, равна 3/4. Найти вероятность того, что среди шести рабочих дней окажется два дня, в течение которых произойдет перерасход электроэнергии.

5.20. Рабочий обслуживает четыре станка. Каждый станок в течение 6ч работы несколько раз останавливается и всего в сумме стоит 0,5ч, причём остановки их в любой достаточно малый промежуток времени равновероятны. Определить вероятность того, что в данный промежуток времени будут работать только два станка.

5.21. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что 5 читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

5.22. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

5.23. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

5.24. По цели производится пять независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее четырех попаданий. Определить вероятность получения зачета.

5.25. При вращении антенны радиолокатора за время облучения точечной цели от нее успевает отразиться пять импульсов. Найти вероятность обнаружения цели за один оборот антенны, если для этого необходимо получить не менее трех отраженных импульсов. Вероятность подавления импульса помехой равна 0,2. Подавление импульсов помехами происходит независимо друг от друга.

6. Наивероятнейшее число появлений события

6.1. В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей установлено, что средний процент брака составляет 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было бы равно 60 шт.?

6.2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

6.3. Среди собираемых цехом механизмов в среднем 20% требуют специальной регулировки. Сколько нужно взять механизмов, чтобы наиболее вероятное число механизмов, не требующих специальной регулировки, было равно 10?

6.4. По имеющимся данным в среднем 90% производимых цехом изделий не имеют дефектов. Какое наивероятнейшее число изделий с дефектами окажется среди отобранных случайным образом 20 образцов изделий?

6.5. На складе находятся две партии пряжи. Известно, что первая партия содержит 40%, вторая – 30% пряжи II сорта, остальная пряжа в обеих партиях I сорта. Для контроля качества пряжи берутся 50 мотков ее из первой партии и 40 мотков из второй. Требуется определить, где окажется большим наиболее вероятное число мотков пряжи I сорта.

6.6. Сколько раз необходимо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не менее 0,85 можно было ожидать появления хотя бы одной шестерки?

6.7. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Сколько необходимо произвести выстрелов, чтобы с вероятностью более 0,9 попасть в мишень хотя бы один раз?

6.8. В урне имеется шесть белых и четыре черных шара. Испытание состоит в извлечении одного шара с последующим его возвращением в урну. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы черный шар появился хотя бы один раз с вероятностью не менее 0,8?

6.9. Из ящика, в котором 20 белых и 2 черных шара, n раз извлекаются шары по одному, причем после каждого извлечения шар возвращается. Определить наименьшее число извлечений, при котором вероятность достать хотя бы один раз черный шар будет больше половины.

6.10. Сколько чисел необходимо взять из таблицы случайных чисел, чтобы с наибольшей вероятностью обеспечивалось появление среди них трех чисел, оканчивающихся цифрой 7?

6.11. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25% всего количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 114?

6.12. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,05. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее число нестандартных деталей в ней было равно 63?

6.13, Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 55?

6.14. Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность, по меньшей мере, одного попадания в цель была больше 0,9?

6.15. Найти наивероятнейшее число наступлений ясных дней в течение первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней.

6.16. Производится 21 выстрел по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,25. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.

6.17. Найти наивероятнейшее число наступлений события А при 63 независимых испытаниях, если вероятность появления данного события в отдельном испытании равна 0,9.

6.18. Среди собираемых цехом механизмов в среднем 20% требуют специальной регулировки. Сколько нужно взять механизмов, чтобы наиболее вероятное число механизмов, не требующих специальной регулировки, было бы равно 5?

6.19. Автоматический станок изготовляет 2/3 числа деталей I сорта и 1/3 - II сорта. Определить наивероятнейшее число изделий I сорта среди 10 деталей, отобранных случайным образом.

6.20. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,3. Произведено 12 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

6.21. Проводится соревнование по стрельбе из охотничьих ружей по летящим тарелочкам. Для каждого стрелка пускается 50 тарелочек. Вероятности попадания в тарелочку равны: для первого стрелка - 0,9, для второго - 0,95 и для третьего - 0,85. Определить наиболее вероятное число тарелочек, пораженных каждым стрелком.

6.22. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.

6.23. Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51, если вероятность появления этого события в отдельном испытании р=0,64?

6.24. В среднем 20% приборов, снимаемых с конвейера цеха, оказываются требующими дополнительной регулировки. Сколько должно быть наудачу отобрано с конвейера приборов, чтобы наивероятнейшее число их, не требующих дополнительной регулировки, было равно 20?

6.25. Испытываются 25 двигателей. Вероятность безотказной работы каждого двигателя одинакова и равна 0,95. Определить наивероятнейшее число отказавших двигателей.

7. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

7.1. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1000 новорожденных больше 480, но меньше 540 (вероятность рождения мальчика принять равной 0,515).

7.2. Проведено 700 независимых испытании, в каждом из которых вероятность наступлений события А равна 0,7. Найти вероятность того, что частота появлений события А окажется заключенной между 460 и 600.

7.3. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,62.

7.4. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок?

7.5. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдельном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что при этом будет 8 попаданий.

7.6. Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

7.7. По данным технического контроля в среднем 2% изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 300 изготовленных часов 290 не будут нуждаться в дополнительной регулировке?

7.8. Вероятность выпуска нестандартной электролампы равна 0,1. Чему равна вероятность того, что в партии из 2000 ламп число стандартных будет не менее 1790?

7.9. В результате проверки качества приготовленного для посева зерна было установлено, что 80% зерен всхожие. Определить вероятность того, что среди отобранных и высаженных 100 зерен прорастет не менее 70.

7.10. Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность того, что отдельное дерево приживется, равна 0,6.

7.11. Найти приближенное выражение для вероятности того, что число выпадений тройки при 4200 бросаниях игральной кости будет заключено между 650 и 700.

7.12. Если известно, что на лотерейный билет выпал выигрыш, то вероятность того, что выигрышем будет велосипед или стиральная машина, равны соответственно 0,03 и 0,02. Найти вероятность выигрыша хотя бы одного из этих предметов на 10 выигравших лотерейных билетов, выбранных из разных серий.

7.13. Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной после 1000ч работы?

7.14. При массовом производстве шестерен вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых шестерен 50 будут бракованными?

7.15. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме при включенном приводе в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?

7.16. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность, что из 200 студентов, сидящих в аудитории, окажется не менее 10% носящих очки?

7.17. Вероятность допущения дефекта при производстве механизмов равна 0,4. Случайным образом отбираются 500 механизмов. Установить величину наибольшего отклонения частоты изготовленных механизмов с дефектами от вероятности 0,4, которую можно гарантировать с вероятностью 0,9973.

7.18. Вероятность появления бракованной детали, изготовляемой станком-автоматом, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей, изготовленных этим станком, будет 4 бракованных.

7.19. Завод отправил потребители партию из 500 изделий. Вероятность повреждения изделий в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что потребитель получит 3 негодных изделия.

7.20. В механизмах и узлах ходовой части автомобиля из-за неточности обработки деталей и от их неуравновешенности возникают динамические нагрузки, среднее число равно 300 за 1 ч езды. Какова вероятность того, что за 1 мин движения автомобиля динамические нагрузки не превысят своего среднего значения ровно в 2 раза?

7.21. Во время стендовых испытаний подшипников качения 0,4% отходит в брак. Какова вероятность того, что при случайном отборе 5000 подшипников обнаружится 5 негодных?

7.22. Срок службы сцепления автомобиля в основном зависит от числа включений и выключений последнего. В городских условиях на 200км пробега иногда приходится включать сцепление в среднем 1000 раз. Какова вероятность того, что на 20 км пробега придется выключить сцепление 5 раз?

7.23. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение 1 ч, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение 1 ч позвонят 4 абонента?

7.24. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа каждого из которых равна р=0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

7.25. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляет 1%.

7.26. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,7, а в девятку - 0,3. Определить вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.