МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_13
.doc-
НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ.
КЛАСИФІКАЦІЯ ТОЧОК РОЗРИВУ
Функція
із областю визначення
називається неперервною в точці
якщо
Ця умова еквівалентна таким:
-
визначена
в точці
-
існують
і скінченні; -
-
Якщо
хоча б одна із цих чотирьох умов не
виконується, то
функція
терпить в точці
розрив. В залежності від того, які саме
умови не виконуються, розриви класифікуються
як розриви 1-го роду (усувні
та розриви типу «стрибка»)
і розриви 2-го роду (безмежні
та істотні).
Функція
називається неперервною на множині
якщо вона непервна в кожній точці
Елементарні функції є неперервними на
своїй області визначення.
АР-1.13
-
Знайти
. -
Знайти
.
3.
Знайти
.
4. Визначити
порядок нескінченно малої функції
відносно
нескінченно малої
при
.
5.
Визначити
область
неперервності функції
і знайти точки розриву.
6. Дано функцію
Знайти точки розриву функції і побудувати її графік.
7. Дослідити
на неперервність функцію
в
точках
і
.
СР-1.13
-
1) Знайти
.
( Відповідь:
5/2).
2) Дослідити
на неперервність функцію
в
точках
Виконати
схематичне креслення.
-
1) Знайти
.
(Відповідь: -3/4). -
Дано функцію
Дослідити її на неперервність. Виконати схематичне креслення.
-
1) Знайти
.
(Відповідь:
1/4). -
Дослідити на неперервність функцію
в
точках
і
Виконати схематичне
креслення.
ІДЗ-1.13
1. Довести,
що функції
і
при
є
нескінченно малими одного порядку
малості.
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
1.7.
.
1.8.
1.9.
1.10.
.
1.11.
.
1.12.
1.13.
.
1.14.
1.15.
.
1.16.
1.17.
1.18.
.
1.19.
.
1.20.
.
1.21.
.
1.22.
.
1.23.
.
1.24.
.
1.25.
.
1.26.
.
1.27.
.
1.28.
.
1.29.
.
1.30.
.
2. Знайти границі, використовуючи еквівалентні нескінченно малі функції.
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
2.5.
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
2.9.
.
2.10.
.
2.11.
.
2.12.
.
2.13.
. 2.14.
.
2.15.
.
2.16.
.
2.17.
.
2.18.
.
2.19.
.
2.20.
.
2.21.
.
2.22.
.
2.23.
.
2.24.
.
2.25.
.
2.26.
.
2.27.
.
2.28.
.
2.29.
.
2.30.
3. Дослідити дані функції на неперервність та побудувати їх графіки.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
4. Дослідити дані функції на неперервність у вказаних точках.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1.
Довести, що функції
і
є нескінченно малими одного порядку
малості.
Знаходимо
Оскільки
границя відношення функцій
дорівнює відмінній від нуля сталій, то
у відповідності з означенням дані
функції - нескінченно малі одного порядку
малості.
2. Знайти границю, використовуючи еквівалентні нескінченно малі функції.
Маємо:
3.Дослідити дану функцію на неперервність і побудувати її графік:
Функція
визначена і неперервна на інтервалах
,
і
,
де вона задана елементарними функціями.
Отже, розрив може бути тільки в точках
-
Для точки
маємо:
,
тобто,
функція
в точці
неперервна.
2)Для
точки
знаходимо:
тобто,
в точці
функція має розрив
першого
роду;
виконує «стрибок»,
що дорівнює
Графік даної функції зображено на рис1.16.
4. Дослідити функцію
на неперервність в точках
Для точки
маємо:
Рис.1.16
тобто, в точці
функція
має нескінченний розрив другого роду.
Для точки
маємо:
Отже, в точці
функція
неперервна.