Mathcad - ЛР5

Вывод: Метод Симпсона в данном случае оказался намного эффективнее метода трапеций, т.к. потребовал в 39 раз меньшее количество узлов. В обоих случаях

вычисления интегралов численными методами заданная точность была достигнута, т.к. требуемое количество отрезков разбиения вычисляется на основе

наиболее пессимистической оценки динамики сходимости ряда к точному значению. Значение определенного интеграла, вычисленное встроенными средствами MathCAD, совпало в пределах заданной точности с результатами расчета методами трапеций и Симпсона, что подтерждает корректную постановку численного эксперимента.

Задача 5.6. Рассматриваются значения функции

y = f (x) (из задания 5.1) на отрезке [a,b]

в равноотстоящих узлах a = x

0

< x < ... < x

n

= b ,

x

i

= a + ih , y

i

= f (x

) , h =

b − a

.

1

i

n

Пользуясь формулами численного дифференцирования, найти приближенное значение производных (первого и второго порядков) функции в заданных узлах yi′ ≈ f ′(xi ) ,

yi′′ ≈ f ′′(xi ) . Вывести на один чертеж точечный график полученных приближенных

значений первой и второй производной в узлах и непрерывный график каждой производной, рассчитанной аналитическим путем. Графически оценить абсолютные погрешности, возникающие при численном дифференцировании. Решить данную задачу для трех значений n = 10,15,20. Сделать выводы.

Теоретический материал:

y = f (x)

[a,b]

a = x

0

< x

< ... < x

n

= b

x

i

= a + ih

y

i

= f (x

)

h =

b − a

1

i

n

y′ ≈ f ′(x

)

y′′ ≈ f

′′(x

)

h2

i

i

i

i

yi+1 − yi−1

i = 1..n −1

f ′(x ) ≈ y′

=

i

i

2h

f ′′(x

i

) ≈ y

′′

=

yi−1 − 2yi + yi+1

i

h2

f ′(x0 ) ≈ y0′

=

− 3y0 + 4y1 − y2

2h

f ′′(x0 ) ≈ y0′′ =

2y0 − 5y1 + 4y

2 − y3

h2

f ′(x

n

) ≈ y′

=

3yn − 4yn−1 + yn−2

n

2h

f ′′(x

n

) ≈ y′′ =

2yn − 5yn−1 + 4yn−2 − yn−3

n

h2

Рассматриваются значения функции

y = f (x) на отрезке [a,b]

в равноотстоящих узлах

a = x

0

< x < ... < x

n

= b ,

x

i

= a + ih ,

y

i

= f (x

) , h =

b − a

.

Для оценки значения

1

i

n

производных (первого и второго порядка) заданной функции в рассматриваемых узлах

y′ ≈ f ′(x

) ,

y′′

≈ f ′′(x

i

)

используются следующие формулы (порядок точности h2 ):

i

i

i

Формулы центрированной разности (i = 1..n −1):

f ′(x ) ≈ y′

=

yi+1 − yi−1

,

i

i

2h

f ′′(x

i

) ≈ y

′′ =

yi−1 − 2yi + yi+1

,

i

h2

Формулы для правых разностей (используются при i = 0):

f ′(x0 ) ≈ y0′

=

− 3y0 + 4y1 − y2

2h

f ′′(x0 ) ≈ y0′′

=

2y0 − 5y1 + 4y2 − y3

h2

Формулы для левых разностей (используются при i = n):

f ′(x

n

) ≈ y′

=

3yn − 4yn−1 + yn−2

n

2h

f ′′(x

n

) ≈ y′′

=

2yn − 5yn−1 + 4yn−2 − yn−3

n

h2

Решение задачи:

x := 0

Задана функция

f(x) :=

1

на отрезке [2;2]

a := -2

b := 2

9 - x2

− 3

DF_DX_A(x) := x×(9 - x2)

2

− 3

− 5

DF2_DX_A(x) := (9 - x2)

2

+ 3×x2×(9 - x2)

2

DF_DX(f , a, b, n) :=	h ¬			b - a
					n
	n ¬ n - 1
	for			i Î 0 .. n
	xi		¬ a + h×i
	D0	¬			-3×f(x0) + f(x1) - f(x2)
								×h
			2
	for			i Î 1 .. n - 1
	Di ¬					f(xi+1) - f(xi−1)
							2×h
	Dn	¬			3×f(xn) - 4×f(xn−1) + f(xn−2)
								2	×h
	D

DF2_DX(f , a, b, n) :=	h ¬	b - a
				n
	n ¬ n - 1
	for	i Î 0 .. n
	xi ¬ a + h×i
	D0 ¬			2×f(x0) - 5×f(x1) + 4×f(x2) - f(x3)
						h2
	for	i Î 1 .. n - 1
	Di ¬				f(xi+1) - 2×f(xi) + f(xi−1)
						h2
	Dn ¬			2×f(xn) - 5×f(xn−1) + 4×f(xn−2) - f(xn−3)
						h2
	D

A)n := 10

i := 0 .. n - 1

h :=	b - a	h = 0.4

n

xi := a + h×i Fi := f(xi)

DF_DX_ARR_1 := DF_DX(f , a, b, n)

DF2_DX_ARR_1 := DF2_DX(f , a, b, n)

DF_DX_A(z)

DF2_DX_A(z) DF_DX_ARR_1i

DF2_DX_ARR_1i

0.2
0.1
0
0.1
2	1	0	1	2
		z, z, xi

B)n := 15

i := 0 .. n - 1

h :=	b - a	h = 0.266666666666667

n

xi := a + h×i Fi := f(xi)

DF_DX_ARR_2 := DF_DX(f , a, b, n) DF2_DX_ARR_2 := DF2_DX(f , a, b, n)

DF_DX_A(z)

DF2_DX_A(z) DF_DX_ARR_2i

DF2_DX_ARR_2i

0.2
0.1
0
0.1
2	1	0	1	2
		z, z, xi

C)n := 20

i := 0 .. n - 1

h :=	b -	a
	n		h = 0.2

xi := a + h×i Fi := f(xi)

DF_DX_ARR_3 := DF_DX(f , a, b, n) DF2_DX_ARR_3 := DF2_DX(f , a, b, n)

DF_DX_A(z)

DF2_DX_A(z) DF_DX_ARR_3i

DF2_DX_ARR_3i

0.2
0.1
0
0.1
2	1	0	1	2
		z, z, xi

Вывод: Численное дифференцирование дает тем лучший результат, чем большее количество узлов было использовано, т.е. чем меньше шаг. Стоит отметить, что в крайних узлах погрешность больше, чем во внутренних. Это связано с тем, что

значения производной во внутренних узлах опираются на значения функции как слева, так и справа, что позволяет более точно предсказывать результат. Вычислительный процесс в крайних узлах не имеет такой возможности, что не позволяет ему достичь точности центрированной разности.