Лекции Дудорова(Оптимизация.) / lection_dudarov / Лекция 9б

2

Лекция 9б

Постановка задачи оптимизации.

Цель решения задачи оптимизации – найти условия (параметры), обеспечивающие оптимальное значение (минимум или максимум) целевой функции (критерия оптимальности) при заданных ограничениях.

Из высшей математики: необходимое условие экстремума: если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=a, то f'(a)=0 или f'(a) не существует. Аналогично для функций многих переменных – частные производные в точке экстремума равны нулю.

При наличии нескольких экстремумов обычно имеет место один глобальный и несколько локальных экстремумов (рис. 1, 2). При решении задачи оптимизации необходимо найти глобальный экстремум.

Рис. 1. Глобальный и локальные экстремумы функции одной переменной.

Рис. 2. Глобальный и локальный экстремумы функции двух переменных.

Классификация методов решения задач оптимизации

1. Методы классического математического анализа.

2. Методы на основе неопределённых множителей Лагранжа (математически аналогичны первой группе методов, однако учитываются ограничения на независимые переменные (параметры)).

3. Методы вариационного исчисления (для решения задач с критериями оптимальности в виде функционалов; решения представляют собой неизвестные функции, поиск которых сводится к решению системы дифференциальных уравнений).

4. Методы динамического программирования (применяются для оптимизации дискретных многостадийных процессов).

5. Метод (принцип) максимума (для решения задач оптимизации непрерывных процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений).

6. Методы линейного программирования (для случаев линейного выражения критерия оптимальности и наличия ограничений на область изменения независимых переменных).

7. Методы нелинейного программирования (для случаев нелинейного выражения целевой функции и ограничений в виде равенств или неравенств):

• градиентные методы;

• методы детерминированного поиска;

• методы стохастического поиска;

8. Методы геометрического программирования (критерий оптимальности и ограничения задаются в виде суммы произведений степенных функций от независимых переменных).