Для наглядности характеристики рассеивания удобно пользоваться средним квадратическим отклонением x СВ, размерность x совпадает с размерностью СВ X.

Среднеквадратическим отклонением СВ X

называется неотрицательное число:(x) x Д(x)

Случайные величины

Свойства Дx и x :

1)	Д(с) 0	1) (c) 0
2) Д(cx) c2Д(x)		2) (cx)		c		(x)
3)	Если X и Y – независимые СВ, то:
	Д(x y) Д(x) Д(y)	(x y)					2(x) 2(y)
4) Д(c x) Д(x)		4) (c x) (x)
	5) Для любых случайных величин, имеющих
конечную дисперсию, справедливо соотношение:
	Д(x) Д(y) Д(x) Д(y) 2cov(x,y)
где cov(x,y) - ковариация
	cov(x,y) M((X m )(Y m ))
	x	x
	Случайные величины

6)Д( x y) 2Д(X ) 2Д(X ) 2 cov(x,y)

7)Д(xy) Д(x)* Д(y) mx2Д(y) m2y Д(x)

Случайные величины

2.4.3.

Моменты

случайной

величины.

Моменты случайной

величины

начальны

е

Начальным моментом k- го порядка (k=1,2,3… ) СВ X называется число, равное математическому ожиданию k-ой степени этой СВ.

центральные

Центральным моментом k- го порядка ( k=1,2,3…) СВ X называется математическое ожидание k- ой степени отклонения этой величины от ее математического ожидания.

		n	для ДСВ;				n		mx)k pi	для ДСВ;
		xik pi					(xi
M (xk ) i 1				M[(x m )k ] i 1
					x
k				k				(x mx)k f (x)dx для НСВ.
			(x)dx для НСВ.
		xk f
			Случайные величины

При вычислении центральных моментов 2-го, 3-го, … порядков используются формулы:

0 1

1 0

2 Д(x) 2 12 2 mx2

3 3 3 1 2 2 13 3 3mx 2(x) 2m3x

4 4 4 1 3 6 12 2 3 14 4 4mx 3 6mx2Д(x) 3mx4

Случайные величины

Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения СВ.

За меру отклонения (асимметрии) распределения СВ X от симметрии относительно M(x) (центра распределения) принимают число A равное:

Ax 3

3x

где A – коэффициент асимметрии, или скошенности

Случайные величины

Нормальная

кривая

A>0 A<0

0 Mx

Mx

A 0 - функция плотности вероятности симметрична

M (x) Mo Me

A 0,

Mo M(x) и

A 0,

Mo M(x)

Случайные величины

Для характеристики «островершинности» распределения служит характеристика называемая

эксцессом:
E	x	4		3
			4
			x
				Нормальная
				кривая

0

Случайные величины

Пример 1. ДСВ X - число попаданий в мишень при трех выстрелах. Вероятность попадания при одном выстреле

равна	p 0,8	M (x)		,	Д(x)		,		x ,	M	o ,	A
	. Найти:											x .
Решение:
Составим закон распределения СВ:
xi	0	1	2		3
pi	0,008	0,096	0,384		0,512
Вероятности p P(X x )						находим по формуле Бернулли:
		i			i
		P (m) Cm pmqn m
		n			n
n 3,	p 0,8,	q 0,2					p3 P(X				2)	2	2	1	0,384
p P(X 0) C00,800,23 0,008
												C3	0,8 0,2
1	3	1 2					p P(X 3) C30,830,20								0,512
	1		0,096
p2 P(X 1) C30,8 0,2								4				3
				n		1
			p
			i 1 i
			Случайные величины

M (x) 0 0,008 1 0,096 2 0,384 3 0,512 2,4

Д(x)

n

2

pi

2

2

x

mx 0 0,008 1 0,096 4 0,384 9 0,512 2,4

i

1

0,096 1,536 4,608 5,57 0,48

x

0,69

Д(x)

0,48

Mo 3

т.к. для ДСВ – это то значение СВ, которое

реализуется с максимальной вероятностью.

M

o

X 3

, т.к.

– P(X 3) 0,512 наибольшая из всех вероятностей.3

Ax 3

3x

Ax 0,103

3 i31(xi mx)3 pi

3 (0 2,4)3 0,008 (1 2,4)3 0,096 (2 2,4)3 0,384 (3 2,4)3 0,512

0,03434

3x 0,693 0,3326

Случайные величины