3) Вероятность попадания СВ X в интервал a;b

P(x 2,5) P( x 2,5) F(2,5) F( ) (0,5 2,5 1) 0 0,25 P(2,4 x 3,2) P(3,2) F(2,4) 0,6 0,2 0,4

P(1 x 3) F(3) F(1) 0,5 0 0,5 P(3 x 5) F(5) F(3) 1 0,5 0,5

Эти же вероятности можно найти с помощью функции плотности:

P(x 2,5) P( x 2,5)
2,5	2	2,5	2	2,5
f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0dx 0,5dx 0,25
		2		2

Случайные величины

2.4.

Числовые

характеристики

случайных

величин.

СВ полностью охарактеризовать можно с помощью закона распределения. Но для решения многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числа, которые отражают существенные особенности СВ. Эти характеристики СВ называют

числовыми характеристиками СВ.

Кним относятся

-математическое ожидание;

-дисперсия;

-среднеквадратическое отклонение;

-начальные и центральные моменты;

-мода;

-медиана;

-эксцесс;

-асимметрия.

Случайные величины

2.4.1.

Характеристики

положения

СВ.

Математическим ожиданием СВ X называется средневзвешенное по вероятности значение этой величины и обозначается: M (x) или mx .

		n	x p		, Для ДСВ
M (x) m				i i
	i 1
x
				x f	(x)dx, Для НСВ
				i

Случайные величины

Свойства M (x) :

M (x) c	, где c– const;

.M(xc) cM(x)

.M(x y) M(x) M(y)

M (xy) M (x)*M (y), если x, y - независимые СВ;

.M (x M (x)) 0

Случайные величины

Отклонение СВ	X от ее	математического
ожидания в данном	опыте:		-
		X X M(x)

центрированная СВ.

Центрирование СВ означает перенос начала отсчета на уровень математического ожидания.

Математическое ожидание есть величина постоянная, характеризующая на числовой оси среднее положение СВ, около которого группируются ее возможные значения.

Случайные величины

Модой СВ называют ее наиболее вероятное значение.

Для ДСВ:

Для НСВ:

P i

				xi
Mo
						Mo1			2
									Mo

Для НСВ мода – это любая точка максимума плотности вероятности f (x).

Случайные величины

Медианой СВ X называется такое ее значение			M
			, для
которого:				e
P(X Me) P(X Me)
	Геометрически медиана – это
	абсцисса точки , в которой
	площадь,	ограниченная
	графиком		функции
	плотности	f (x) ,	делится
Mе	пополам.

Me		F(x) 1
	- это корень уравнения		2 .
	M e
		f (x)dx f (x)dx
		M
		e
		Случайные величины

Обобщением понятия медианы является квантиль порядка

. p

Квантилью порядка p	непрерывной СВ	X
называется число kp , для которого вероятность того,
что СВ X примет значение меньшее kp , равна		p :

F(kp) P(X kp) p

где F(X) - функция распределения НСВ X.

Медиана совпадает с квантилью порядка p 0,5;Me k0,5

Случайные величины

2.4.2.Характеристики рассеивания СВ.

Основные характеристики рассеивания СВ

Дисперсия

Среднеквадрати

ческое

отклонение

Случайные величины

Дисперсией СВ X называется неотрицательное число
Д (x) Д	M (x m )2	ожидание квадрата
,	xт.е. математическоеx

отклонения СВ X от ее математического ожидания. Дисперсия это второй центральный момент:

	n
	(x
		i
Д(x) i 1
		(x

mx)2 pi для ДСВ;

mx)2 f (x)dx дляНСВ.

Дисперсию удобно вычислять по формуле: Д(x) M (x2) M 2(x)

Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания

Случайные величины