1.3 Структура та зміст роботи

• Структура та оформлення роботи повинні відповідати діючим стандартам [⁹].

• Звіт повинен уміщувати в собі (у зазначеній нижче послідовності):

  • титульний аркуш;

  • завдання на курсову роботу;

  • реферат;

  • зміст;

  • перелік умовних позначень, символів, одиниць, скорочень і термінів;

  • вступ;

  • суть звіту;

  • висновки;

  • перелік посилань;

  • додатки.

• Загальний обсяг роботи не повинен перевищувати 25 сторінок друкованого тексту (без додатків), включаючи малюнки, графіки і перелік посилань.

• Реферат призначений для ознайомлення зі звітом. Він повинен бути коротким, інформативним. Реферат повинен розміщуватися безпосередньо за завданням.

Реферат повинен містити:

• Відомості про обсяг звіту, кількість частин звіту, кількість ілюстрацій, таблиць, додатків, кількість джерел за переліком посилань.

• Текст реферату.

• Перелік ключових слів (5 слів).

Текст реферату повинен відбивати інформацію, подану у звіті, у такій послідовності (див. додаток В):

• об'єкт дослідження або розроблення;

• мета роботи;

• методи дослідження та апаратура;

• результати і висновки.

Вступ повинен характеризувати актуальність теми, розкривати основні завдання і мету роботи. Обсяг вступу – не більше 1 сторінки.

Суть звіту відображає методику, зміст і результати виконаної роботи. Тут також наводяться опис алгоритму розрахунку на ЕОМ та блок-схема програми. Роздруківка програми наводиться у додатку. Результати розрахунків повинні бути оброблені і подані графічно у вигляді картин полів.

Висновки повинні містити оцінку отриманих результатів з точки зору їх відповідності поставленому завданню. Обсяг висновків – не більше 1 сторінки.

1.4 Методика знаходження структури електро­магнітних полів

1.4.1 Вихідні рівняння і методика їх розв’язання

Фундаментальною основою рівнянь, що описують електромагнітні поля, є рівняння Максвелла і доповнюють їх матеріальні рівняння [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found–Error: Reference source not found, ,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found]. Однак визначення структури і характеристик полів із рівнянь Максвелла досить складне завдання, оскільки в кожному з них наявні два невідомих вектори поля. Тому ці рівняння призводять до так званих хвильових рівнянь для векторів напруженості полів ,або до хвильових рівнянь для скалярного потенціалуелектричного поля і векторного потенціалумагнітного поля (рівняння Даламбера). Вивід хвильових рівнянь докладно викладений у навчальній літературі [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found–,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found].

У разі стаціонарних полів (похідні за часом у вихідних рівняннях ) із рівнянь Даламбера випливають рівняння Пуассона:

де і– відповідно абсолютні магнітна і діелектрична проникності;

– густина струму провідності;

– густина вільних зарядів.

Якщо середовище не містить вільних зарядів і струмів (і), то електричні і магнітні поля є потенціальними, а рівняння перетворюються в рівняння Лапласа:

що доповнюються рівняннями:

де – скалярний потенціал електричного поля;

– скалярний потенціал магнітостатичного поля.

Співвідношення і є вихідними при розрахунках стаціонарних електричних і магнітних полів. Додаткові характеристики розрахованих стаціонарних полів визначаються співвідношеннями, наведеними в [Error: Reference source not found].

Для будь-якої конкретної задачі курсової роботи зі стаціонарних полів як першого етапу при її виконанні необхідно правильно вибрати систему координат (сферичну або циліндричну). Другим етапом розв’язання є виявлення питання про те, чи володіє досліджуване поле тим чи іншим видом симетрії, що часто значною мірою полегшує розв’язання завдання. Приклади розв’язання таких задач детально розглянуті в літературі [Error: Reference source not found–Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not foundError: Reference source not found].

Процеси поширення електромагнітних хвиль у порожнині металевих спрямовуючих систем (хвилеводів) будемо розглядати, вважаючи, що їх стінки виконані з надпровідного матеріалу (провідність ). При цій умові напруженість електричного поля на стінках системи дорівнюватиме нулю. Порожнина системи може бути заповнена діелектриком без втрат з абсолютною діелектричною проникністю. Довжина хвилеводу в напрямку осінескінченна, поперечні розміри хвилеводу визначаються по осяхі. У цьому випадку електромагнітне поле в системі описується однорідними хвильовими рівняннями Гельмгольца [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found; Error: Reference source not found; Error: Reference source not found–,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found]:

де і– комплексні амплітуди полів;

– хвильове число;

– кругова частота.

Хвильові рівняння еквівалентні шести скалярним рівнянням, що для хвилеводів без втрат мають такий загальний вигляд:

Тут під необхідно розуміти будь-яку з проекцій вектора електричного або магнітного поля на координатній осі. Часова залежністьвже визначена використовуваним методом комплексних амплітуд –. Поширювані у хвилеводі хвилі є суперпозицією біжучої (падаючої і відбитої) хвиль вздовж осіі стоячих хвиль в напрямках, що утворюються внаслідок багаторазових відбиттів від стінок хвилеводу:

,

де – поздовжній коефіцієнт поширення або поздовжнє хвильове число;

– довжина хвилі в хвилеводі, яка в загальному випадку не дорівнює довжині хвилів необмеженому просторі.

Функції характеризують розподіл полів у поперечній площині хвилеводу і відіграють роль амплітуд падаючої і відбитої хвиль, ці функції подібні і відрізняються лише сталим множником, оскільки задовольняють одне диференціальне рівняння . Оскільки при постановці задачі ми припустили, що довжина хвилеводу в напрямку осінескінченна, то для визначення структури полів достатньо обмежитися першим доданком у . Підставляючи його у , із урахуванням того, що, маємо:

.

Тут – оператор Лапласа, що вміщує в собі похідні лише за поперечними координатами.

Проаналізуємо різницю , прирівнявши її до виразу, що за формою збігається з виразами хвильових чисел через відповідні довжини хвиль:

.

Скоротивши всі члени цієї рівності на , запишемо його відносно довжини хвилі в хвилеводі:

.

Оскільки фазова швидкість поширення хвилі в хвилеводі пов'язана з довжиною хвилі співвідношенням , аналогічним(– швидкість світла;– частота), то для повітряного заповнення хвилеводумаємо:

.

Для з'ясування фізичного сенсу величини замінимо співвідношення довжин хвиль зворотним співвідношенням відповідних частот:

Перше з цих співвідношень показує, що залежить від частоти і характеризує закон дисперсії для хвилеводу. При цьому в хвилеводі, а нормальне поширення електромагнітних хвиль (без загасання) можливе лише для області частот: критична частота – це гранична частота, що розділяє діапазон нормального поширення електромагнітних полів у вигляді хвиль і так званий діапазон відсічення(поширення хвиль із експоненціальним загасанням). Подібний сенс має і критична довжина хвиліяк деяке граничне значення довжини хвилі у вільному просторі.

При із випливає рівняння:

,

що свідчить про відсутність дисперсії (, а). Таке поширення хвиль можливе лише в хвилеводах, які допускають існування статичних полів, що містять як мінімум два провідники: коаксіальний хвилевід, полоскова лінія і т. д. [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found–,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found].

Для хвилеводів, як правило, виділяють три групи хвиль: Н-хвилі, Е-хвилі і Т-хвилі [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found; Error: Reference source not found].

1 Т-хвилі характеризуються відсутністю дисперсії та обох поздовжніх складових електричного і магнітного полів (). Опір хвилеводу для цих хвиль дорівнює хвильовому опору в необмеженому середовищі:

.

2 Н-хвилі характеризуються відсутністю поздовжньої складової електричного поля (). Однією із особливостей таких хвиль є те, що відношення поперечних складових електричного і магнітного полів не залежить від координат. Це співвідношення називається еквівалентним опором хвилеводу, причому:

.

3 Е-хвилі характеризуються відсутністю поздовжньої складової магнітного поля (). Еквівалентний опір хвилеводу для цих хвиль:

.

Структура поля в поперечних площинах хвилеводу для Е-і Н-хвиль визначається цілими числами m = 0, 1, 2, 3,… і n = 0, 1, 2, 3,… [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found]. Від їх значень залежать довжина хвилі в хвилеводі, критична довжина хвилі, фазова і групова () швидкості, коефіцієнт поширення. Числохарактеризує число стоячих півхвиль по осі, а число– число стоячих півхвиль по осі. Різні поєднання чиселіхарактеризують різноманіття магнітнихта електричних-хвиль.

Найменші значення івизначають хвилю, що називають основною. За визначенням основним типом хвилі є хвиля, довжина якої має найбільш критичне значення. Решта хвиль називаються вищими.

Основна електрична хвиля виникає при, магнітна –утворюється при. Електричні хвилі типу,іі магнітні –не можуть збуджуватися, тому що не задовольняють граничні умови на стінках хвилеводу: відсутність дотичних складових електричного поля на стінках хвилеводу [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found–,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found].

Загальним при інтегруванні рівнянь Лапласа і Гельмгольца є метод розділення змінних, суть якого полягає в тому, що шукану функцію подають як добуток функцій, кожна з яких залежить лише від однієї координати [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found; Error: Reference source not found; ¹⁰].

Для рівняння Лапласа ця процедура виконується досить просто. Підставивши (розглянемо для простоти двовимірний випадок у декартовій системі координат) у рівняння і розділивши на , маємо:

.

Рівність нулю суми двох незалежних між собою функцій можлива лише в тому випадку, коли кожна із них стала. Тому, прирівнюючи перший доданок до , другий до (), отримаємо:

,.

Тут і – сталі поділу, для яких справедливе співвідношення.

У результаті одне рівняння в частинних похідних приведено до двох звичайних диференціальних рівнянь , рішення яких має такий вигляд [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found]:

де – постійні інтегрування, які визначаються для кожної конкретної задачі із початкових і граничних умов. Загальний розв’язок вихідного рівняння має вигляд

.

При визначенні структури полів у хвилеводах вихідними є рівняння або рівняння . Процедура поділу змінних в рівняннях така сама, як і для рівняння Лапласа. Проте в даному випадку для сталих поділу виконується рівність

.

Тому сталі поділу і(за аналогією зі) іноді називають поперечними хвильовими числами, незважаючи на те, що в поперечному напрямку поширення хвиль не відбувається.

Розв’язок рівнянь , може бути подано в такому вигляді [Error: Reference source not found]:

де .

Подвійний запис означає, що, виходячи зі зручності, можна вибирати будь-яку із функцій, поки сталі інтегрування іне визначені.

Виходячи із вищесказаного, загальний вигляд розв’язку хвильових рівнянь для будь-якої зі складових електричного і магнітного полів може бути поданий у такій формі:

Це рівняння показує, що гармонійні зміни напруженості аналогічні полям стоячої хвилі в поперечному перерізі, а у поздовжньому напрямку в хвилеводі існує хвильовий процес, що характеризується поздовжнім хвильовим числом . Сталі інтегрування,,іможуть бути знайдені із граничних умов, які для прямокутного хвилеводу нескінченної довжини без втрат у стінках і в заповнювальному його діелектрику формулюються таким чином:

при (розмір широкої стінки хвилеводу по осі),
при (розмір висоти хвилеводу по осі).

Щоб не визначати сталі інтегрування для кожної складової поля, як правило користуються таким прийомом: рішення для поздовжньої складової поля записують у формі :

де і– комплексні амплітуди полів, які визначаються початковими умовами (хвильовий множник у цьому записі опущений), а поперечні компоненти знаходяться з перших двох рівнянь Максвелла для гармонійних процесів у проекціях на осі координат [Error: Reference source not found; Error: Reference source not found–Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found] шляхом вираження з них поперечних компонент полів і підстановки в них значень . При цьому можна обійтися без формулювання граничних умов для магнітного поля.

1.4.2 Послідовність розрахунку структури і характеристик стаціонарних полів:

• Записати умову заданого варіанта роботи.

• Вибрати систему координат з урахуванням симетрії досліджуваної системи.

• Подати ескіз досліджуваної системи в масштабі стосовно заданих геометричних параметрів із зазначенням осей і конкретних розмірів.

• Записати рівняння Лапласа для всіх досліджуваних областей у вибраній системі координат.

• Сформулювати граничні умови для даного варіанта завдання.

• Розв’язати отримані рівняння методом поділу змінних і записати їх розв’язок [Error: Reference source not found,Error: Reference source not found; Error: Reference source not found; Error: Reference source not found].

• Використовуючи рівняння зв'язку , отримати вирази для напруженості поля в кожній області досліджуваної системи.

• Скласти програму для розрахунку і побудови картини полів.

• Для заданих числових значень параметрів задачі розрахувати і побудувати сімейство еквіпотенціальних ліній у площині, що перпендикулярна до осі симетрії системи.

• Розрахувати задані додаткові характеристики поля [Error: Reference source not found–Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found,Error: Reference source not found].

1.4.3 Послідовність розрахунку структури і характеристик змінних полів у прямокутному хвилеводі:

• Записати умову заданого варіанта роботи.

• Подати ескіз хвилеводу в масштабі стосовно заданих геометричних параметрів із зазначенням осей і поперечних розмірів.

• Записати хвильове рівняння для поздовжньої компоненти поля заданого типу хвилі.

• Привести хвильове рівняння до вигляду шляхом підстановки розв’язку типу .

• Розв’язати отримане хвильове рівняння методом поділу змінних і записати його розв’язок у формі .

• Записати комплексні рівняння Максвелла в проекціях на осі координат для заданого типу хвилі і виразити з них поперечні компоненти поля [Error: Reference source not found].

• Скориставшись граничними умовами , знайти сталі інтегрування ,,,.

• Записати зазначені компоненти полів і зазначені в завданні характеристики для заданого типу хвилі у явному вигляді, виходячи із певних сталих інтегрування і параметрів хвилеводу (формули для розрахунку основних параметрів хвилі наведені в [Error: Reference source not found]).

• Перейти від комплексної форми запису компонент поля до миттєвих значень і скласти програму для розрахунку компонент поля і основних його характеристик.

• Ввести в програму із завдання числові значення, розрахувати основні характеристики поля і побудувати їх залежності від частоти (див. [Error: Reference source not found]), а також побудувати епюри полів по осях і картини полів у площинах[Error: Reference source not found].