ДодатокЕ

(обов'язковий)

Циліндр у зовнішньому однорідному полі.

Усі проміжні викладки студент наводить повністю із поясненнями.

Рівняння Лапласа в циліндричній системі координат із урахуванням нескінченності системи по осі має вигляд [3]:

. (1)

Аналогічно кулі розв'язок знайдемо у вигляді , у результаті підстановки якого в (1) отримуємо

. (2)

У цьому рівнянні перший доданок залежить лише від , другий – від, а їх сума дорівнює нулю. Ця умова виконується або коли кожний доданок дорівнює нулю, або коли кожний доданок дорівнює якому-небудь поки невідомому числу(нехай перший доданок дорівнює +, другий доданок дорівнює –), тобто

, (3)

, (4)

, (5)

Продовження додатка Е

. (6)

Із рівняння (3) отримуємо, що , із (4) отримуємо, що.

Із рівняння (5) отримуємо, що , де. Розв'язок рівняння (6) має вигляд, звідки=1. Тут,,,і– сталі інтегрування.

Тоді повний розв'язок рівняння Лапласа можна подати у вигляді

(7)

Позначимо потенціал усередині циліндра , поза циліндром.

Тоді потенціали для внутрішньої і зовнішньої областей

(8)

Сталі інтегрування знаходять із граничних умов і залежать від того, із якого матеріалу виготовлений циліндр.

Продовження додатка Е

Граничні умови для кулі і циліндра

1 Для діелектричних і магнітних куль (циліндрів) зручно потенціал на початку координат взяти таким, що дорівнює нулю ().

2 Заряд кулі на нескінченності () сприймається як точковий заряд, а заряджений циліндр – як заряджена вісь.

3 На поверхні провідної незарядженої кулі (циліндра) потенціал безперервний (поверхня еквіпотенціальна ):або().

4 На межі поділу діелектричних середовищ нормальні складові вектора безперервні:,(із урахуванням заданої поляризованостікулі).

5 На межі поділу провідних середовищ нормальні складові вектора безперервні:,.

6 На межі поділу магнітних середовищ нормальні складові вектора рівні:,(– магнітний потенціал поля, з урахуванням заданої намагніченостікулі).

З урахуванням граничних умов 1–6 загальні розв'язки (1) і (8) для конкретних об'єктів будуть мати такий вигляд:

1) якщо циліндр діелектричний, то потенціал на нескінченності , звідси

Продовження додатка Е

,.

Із граничних умов (при )ізнаходимо, що

,.

Тоді ,

;

2) якщо циліндр провідний, але незаряджений, то ..

;

3) якщо провідний циліндр заряджений, то .

.

Для опису магнітного середовища замість потенціалу використовують скалярний магнітний потенціал.

Знаючи , нескладно визначити напруженість поля

,.

Продовження додатка Е

Аналізуючи отримані вище співвідношення для потенціалів циліндрів із урахуванням конкретних граничних умов, можна зробити узагальнюючі висновки стосовно досліджуваних об'єктів:

1) у діелектричному циліндрі з діелектричною проникністю, більшою, ніж діелектрична проникність середовища, результуюче поле менше зовнішнього поля. Це пояснюється тим, що поле зв'язаних зарядів усередині тіла спрямоване назустріч зовнішньому полю. Таке поле зв'язаних зарядів називають деполяризувальним. Деполяризувальне електричне та результуюче поля в кулі і циліндрі є однорідними лише в діелектричному еліпсоїді, кулі і циліндрі;

2) вирази для потенціалу усередині та поза циліндром, а також для напруженості зовнішнього електричного поля в діелектрику і магнітного поля у феромагнетику аналогічні. Перехід від одного виразу до іншого може бути здійснений заміною відповідних величин, виходячи з аналогії рівнянь полів [Error: Reference source not found].

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Теорія електромагнітного поля і основи техніки НВЧ : навч. посіб. / С. В. Соколов, Л. Д. Писаренко, В. О. Журба; за заг. ред. Г. С. Воробйова. – Суми : Сумський державний університет, 2011. – 394 с.

2. Карпов Ю. О. Теоретичні основи електротехніки. Електромаг-нітне поле : навчальний посібник. / Ю. О. Карпов , Ю. Г. Ведміцький , В. В. Кухарчук . – Вінниця : УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2008. – 406 с.

3. Башарин С. А. Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля : учебное пособие. / С. А. Башарин, В. В. Фёдоров. – М. : Академия, 2007. – 304 с.

4. Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники : учебник для вузов. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин. – СПб. : Питер. – 2009. – 432 с.

5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1972. – Том 2. – 752 с.

6. Конструирование экранов и СВЧ-устройств : учебник для вузов. / А. М. Чернушенко, Б. В. Петров, Л. Г. Малорацкий и др.; под ред. А. М. Чернушенко. – М. : Радио и связь, 1990. – 352 с.

7. Татур Т. А. Основы теории электромагнитного поля : справочное пособие для электротехнических специальностей вузов. / Т. А. Татур. – М. : Высшая школа, 1989. – 271 с.

8. Баскаков С. И. Электродинамика и распространение радиоволн : учебное пособие для вузов. / С.И. Баскаков. – М. : Высшая школа, 1992, – 416 с.

9. ДСТУ 3008-95. Документація. Звіти у сфері науки і техніки. Структура і правила оформлення. Введ. 23.02.95. – К. : Держстандарт України, 1995.

10. Вища математика: математичний аналіз, диференціальні рівняння : підручник. / І. І. Веренич, В. П. Лавренчук, Г. С. Пасічник, І. М. Черевко. – Чернівці : Рута, 2008. – 255 с.

Навчальне видання